O trabalho consiste emn apresentar a solução das seguintés equaçõés diferenciais ordinárias separáveis.
d yd x=e^y.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
dydx = e^y
Esse tipo de equação é separável, ou seja, dá para escrever todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro, e em seguida integrar.

Passo 2

Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por e^y e multiplicamos por dx, obtendo
e^-y,dy = dx
Aqui a teoria diz que podemos integrar os dois membros em função de suas respectivas variáveis.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral e^-y,dy = integral dx
Pelo conhecimento de integrais, temos
integral e^-y,dy = -e^-y + C1
e
integral dx = x + C2
Mas só precisamos de uma constante de integração, então juntamos as duas em uma única C.

Passo 4

Isso nos dá a relação implícita
- e^-y = x + C
Multiplicando por -1) e isolando e^-y, fica
e^-y = -x - C = C1 - x
onde C1 = -C é outra constante arbitrária.

Passo 5

Para achar y, aplicamos o logaritmo natural:
-y = lnl(C1 - xr)
Logo,
y(x) = -lnl(C1 - xr)
Renomeando C1 simplesmente para C, chegamos à forma explícita da solução.

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é portanto a família de funções
y(x) = -lnl(C - xr),
onde C é a constante de integração. No contexto de separação de variáveis, aprendemos que toda ODE separável segue esse roteiro: separar variáveis, integrar cada lado e depois isolar a função.

Passo 7

Resposta

y(x) = -lnl(C - xr), onde C é a constante de integração.

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