Seu trabalho é construir os gráficos das parábolas representadas pelas funções quadráticas a seguir:
f(x)=x^{2}+2 x+5

Passo 1

O enunciado pede para “construir o gráfico” da função quadrática \displaystyle f(x)=x^{2}+2x+5.
O conteúdo é estudo de parábolas: vamos obter a forma canônica, encontrar vértice, eixo de simetria, interceptos, montar uma tabela de valores e, a partir disso, esboçar o gráfico.

Passo 2

Para identificar vértice e orientação, reescrevemos f completando o quadrado:
x^{2}+2x+5 \;=\; (x^{2}+2x+1)+5-1 \;=\; (x+1)^{2}+4.

Passo 3

Da forma
f(x) = (x+1)^{2}+4
vemos que a parábola abre para cima (coeficiente de (x+1)^{2} é positivo), o vértice é
\bigl(x_{v},y_{v}\bigr)=(-1,4)
e o eixo de simetria é a reta x=-1.

Passo 4

Não há raízes reais (discriminante \Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot5=-16<0). O intercepto com o eixo y ocorre em x=0:
f(0)=0^{2}+2\cdot0+5=5,
isto é, ponto (0,5). Para esboçar, montamos uma tabela de valores simétricos em torno de x=-1:
\begin{array}{c|ccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1\\hline f(x) & 8 & 5 & 4 & 5 & 8 \end{array}

Passo 5

Com o vértice (-1,4), o intercepto (0,5) e os pontos simétricos (-2,5), (-3,8), (1,8), traçamos a parábola: abertura para cima, mínimo em y=4, sem cruzar o eixo x.

Resposta

O gráfico de
f(x)=x^{2}+2x+5
é uma parábola de concavidade para cima, vértice em (-1,4), eixo x=-1, intercepto em y no ponto (0,5) e sem raízes reais.

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