Qual o trabalho necessário para levar uma carga de 500 \cdot 10^{-12} \mathrm{C} de um ponto situado a 20 m de uma carga de 1000 \mu \mathrm{C} até um ponto a 2 m dela?

Passo 1

O enunciado pede o trabalho necessário para levar uma carga de 500\cdot10^{-12}\,\mathrm{C} de um ponto a 20\\ \mathrm{m} de uma carga de 1000\\ \mu\mathrm{C} até um ponto a 2\\ \mathrm{m} dela. Informações dadas:
q = 500\cdot10^{-12}\,\mathrm{C},
Q = 1000\\ \mu\mathrm{C},
r_1 = 20\\ \mathrm{m},
r_2 = 2\\ \mathrm{m}.
Não há outras informações no enunciado, portanto assumimos que as cargas estão no vácuo e que a constante eletrostática é a usual.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida):
A energia potencial elétrica de uma carga q numa região criada por uma carga pontual Q a uma distância r é dada por
U(r)=k\,\frac{Q\,q}{r},
onde:
  • U(r) é a energia potencial elétrica (em joules, \mathrm{J});
  • k é a constante eletrostática do meio (no vácuo k\approx8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2});
  • Q e q são as cargas em coulombs ( \mathrm{C});
  • r é a distância entre as cargas em metros ( \mathrm{m}).
    O trabalho realizado pelo agente externo (levando o corpo lentamente, isto é, quasi-estático) para deslocar q de r_1 para r_2 é igual à variação da energia potencial:
W_{\text{ext}}=\Delta U = U(r_2)-U(r_1)=k\,Q\,q\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right).
Explico cada termo: kQq é uma constante multiplicativa (produtos das cargas e da constante), e \left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right) mede a mudança de potencial elétrico entre as posições final e inicial.

Passo 3

Primeiro converto as unidades dadas para coulombs:
Q = 1000\\ \mu\mathrm{C} = 1000\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
q = 500\cdot10^{-12}\\ \mathrm{C}=5{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.
Constante k:
k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.

Passo 4

Calculo o termo kQq:
kQq=(8{,}99\times10^{9})\times(1{,}0\times10^{-3})\times(5{,}00\times10^{-10}).
Multiplicando as mantissas e somando os expoentes:
8{,}99\times1{,}0\times5{,}00=44{,}95,
e os expoentes:
10^{9}\times10^{-3}\times10^{-10}=10^{9-3-10}=10^{-4}.
Logo
kQq=44{,}95\times10^{-4}=4{,}495\times10^{-3}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora calculo a diferença de inversos das distâncias:
\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=0{,}5-0{,}05=0{,}45\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Multiplico para obter o trabalho:
W_{\text{ext}}=kQq\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)=4{,}495\times10^{-3}\times0{,}45.
Faço a multiplicação:
4{,}495\times0{,}45=2{,}02275,
portanto
W_{\text{ext}}=2{,}02275\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
Arredondando com três algarismos significativos (os dados têm aproximadamente três cifras confiáveis), temos
W_{\text{ext}}\approx2{,}02\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o trabalho é positivo, ou seja, é necessário gastar essa energia para levar a carga q de 20\\ \mathrm{m} para 2\\ \mathrm{m} (movendo-se contra a repulsão, já que ambas as cargas são positivas).

Resposta

2{,}02\times10^{-3}\\ \mathrm{J}

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