Qual o trabalho realizado pela força -1,0, no deslocamento de uma partícula do ponto ( b^2 x^2+y^2=b^2 ) ao ponto ( 1,0 ), segundo o arco superior da elipse de equação ? Para qual elipse esse trabalho atinge o menor valor ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força F(x, y)=(3 y^2+2) i+16 x j ao mover uma partícula do ponto (-1, 0) até o ponto (1, 0) seguindo o arco superior de uma elipse dada pela equação b^2 x^2+y^2=b^2. Além disso, precisamos descobrir para qual valor de b esse trabalho é o menor.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho, que envolve integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força F ao longo de um caminho C é dado pela integral de linha:
W = integralC F cdot dr
Aqui, F cdot dr representa o produto escalar entre a força e o elemento de deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Precisamos parametrizar o caminho, que é o arco superior da elipse b^2 x^2+y^2=b^2. Podemos reescrever a equação da elipse como:
x^21 + y^2b^2 = 1
Isso nos mostra que a elipse tem eixo maior no eixo Y com comprimento 2b e eixo menor no eixo X com comprimento 2.
Vamos parametrizar a elipse usando o parâmetro theta:
x = costheta y = b sintheta
onde theta varia de 0 a pi para percorrer o arco superior da elipse, indo de (-1, 0) a (1, 0).

Passo 4

Agora, vamos calcular o diferencial de posição dr. Derivando x e y em relação a theta:
dxdtheta = -sintheta dydtheta = b costheta
Portanto,
dr = drdtheta dtheta = (-sintheta , i + b costheta , j) dtheta

Passo 5

Vamos expressar a força F em termos de theta. Substituindo x e y:
F(x, y) = (3 y^2 + 2) i + 16 x j = (3 (b sintheta)^2 + 2) i + 16 costheta , j
Simplificando:
F(theta) = (3 b^2 sin^2theta + 2) i + 16 costheta , j

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (3 b^2 sin^2theta + 2)(-sintheta) + 16 costheta (b costheta)
Simplificando:
F cdot dr = -(3 b^2 sin^2theta + 2) sintheta + 16 b cos^2theta

Passo 7

Agora, vamos montar a integral para o trabalho:
W = integral0^pi [ -(3 b^2 sin^2theta + 2) sintheta + 16 b cos^2theta ] dtheta
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
W = -integral0^pi (3 b^2 sin^3theta + 2 sintheta) dtheta + integral0^pi 16 b cos^2theta , dtheta
Calculando cada integral separadamente:
  1. -integral0^pi 3 b^2 sin^3theta , dtheta = -3 b^2 cdot 43 = -4 b^2
  2. -integral0^pi 2 sintheta , dtheta = -2 cdot 2 = -4
  3. integral0^pi 16 b cos^2theta , dtheta = 16 b cdot pi2 = 8 pi b
Somando tudo:
W = -4 b^2 - 4 + 8 pi b

Passo 8

Agora, queremos encontrar para qual valor de b o trabalho W é mínimo. Para isso, derivamos W em relação a b e igualamos a zero:
dWdb = -8 b + 8 pi = 0
Resolvendo para b:
-8 b + 8 pi = 0 -8 b = -8 pi b = pi

Resposta

O trabalho realizado é dado por W = -4 b^2 - 4 + 8 pi b. Esse trabalho atinge o menor valor quando b = pi.

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