Qual o trabalho realizado pela força
, no deslocamento de uma partícula do ponto (
) ao ponto ( 1,0 ), segundo o arco superior da elipse de equação
? Para qual elipse esse trabalho atinge o menor valor ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força
ao mover uma partícula do ponto
até o ponto
seguindo o arco superior de uma elipse dada pela equação
. Além disso, precisamos descobrir para qual valor de
esse trabalho é o menor.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho, que envolve integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força
ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
representa o produto escalar entre a força e o elemento de deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
Precisamos parametrizar o caminho, que é o arco superior da elipse
. Podemos reescrever a equação da elipse como:
Isso nos mostra que a elipse tem eixo maior no eixo Y com comprimento
e eixo menor no eixo X com comprimento
.
Vamos parametrizar a elipse usando o parâmetro
:
onde
varia de
a
para percorrer o arco superior da elipse, indo de
a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o diferencial de posição
. Derivando
e
em relação a
:
Portanto,
Passo 5
Vamos expressar a força
em termos de
. Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos montar a integral para o trabalho:
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Calculando cada integral separadamente:
Somando tudo:
Passo 8
Agora, queremos encontrar para qual valor de
o trabalho
é mínimo. Para isso, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Resposta
O trabalho realizado é dado por
. Esse trabalho atinge o menor valor quando
.