Um trabalho é realizado sobre o vapor quando \mathbf{4 , 9 ~ m o l} de água a 100 { }^{\circ} \mathrm{C} ferve e se torna 4,9 \mathrm{~mol} de vapor a 100^{\circ} \mathrm{C} a 1,00 atm de pressão. Suponha que o vapor se comporte com um gás ideal.
Determine a variação na energia interna do sistema da água e do vapor conforme a água vaporiza.
Dados:
\mathbf{R} \boldsymbol{=} \mathbf{8 , 3 1 4} \mathbf{~ J} \boldsymbol{/} \mathbf{m o l} \boldsymbol{.} \mathbf{K}
Calor latente de vaporização da água =2,26 \times 10^{6} \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado pede a variação da energia interna do sistema (água líquida + vapor) quando 4,9\\ \mathrm{mol} de água a 100^\circ\mathrm{C} vaporiza a 1,00\\ \mathrm{atm}, tratando o vapor como gás ideal.
Dados fornecidos e relevantes:
n=4,9\\ \mathrm{mol}
T=100^\circ\mathrm{C}=373,15\\ \mathrm{K}
P=1,00\\ \mathrm{atm}=1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}
R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}
Calor latente de vaporização (fornecido):
L=2,26\times10^{6}\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}
Também é preciso a massa da água correspondente a 4,9\\ \mathrm{mol}. A massa molar da água (valor usado):
M=18,015\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}=0,018015\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
A primeira lei da termodinâmica para um processo sem troca de massa com o entorno diz:
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna do sistema, Q é o calor fornecido ao sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno. Aqui, durante a vaporização a pressão constante, o trabalho de expansão é:
W = P\,\Delta V.
Explicação física: a energia fornecida como calor Q é usada em parte para fazer trabalho de expansão quando o líquido vira vapor (empurrar o ambiente) e o restante aumenta a energia interna do sistema. Como a temperatura final do vapor e do líquido é a mesma ( 100^\circ\mathrm{C}), a energia interna moleculares associada à temperatura não muda (para um gás ideal, U depende só da temperatura), então a mudança de energia interna do sistema resulta essencialmente do calor latente menos o trabalho de expansão. Portanto usaremos:
\Delta U = Q - P\Delta V.

Passo 3

Calcular a massa da água que vaporiza (passo numérico detalhado):
m = n \, M = 4,9 \times 0,018015\\ \mathrm{kg} = 0,0882735\\ \mathrm{kg}.
Comentário: isso é só multiplicar número de mols pela massa por mol para obter kg.

Passo 4

Calcular o calor fornecido Q usando o calor latente por kg:
Q = m \, L = 0,0882735\\ \mathrm{kg}\times 2,26\times10^{6}\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
Multiplicando:
Q = 0,0882735\times 2,26\times10^{6}\\ \mathrm{J} = 1,99566\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
Q \approx 2,00\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Explicação: Q é a energia térmica necessária para transformar a massa dada de líquido em vapor à temperatura de vaporização.

Passo 5

Calcular o trabalho de expansão W=P\Delta V. Como o volume do líquido é desprezível comparado com o volume do vapor, \Delta V\approx V_{\text{vapor}}. Para vapor ideal:
V_{\text{vapor}}=\frac{nRT}{P}.
Logo o trabalho é:
W = P\,V_{\text{vapor}} = P\left(\frac{nRT}{P}\right) = nRT.
Isto é prático: para vaporização a pressão constante, o trabalho de expansão é simplesmente nRT do gás ideal àquela temperatura. Agora os números:
nRT = 4,9\times 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}\times 373,15\\ \mathrm{K}.
Calculemos em etapas:
8,314\times 373,15 = 3102,0691\\ (\mathrm{J\,mol^{-1}}),
4,9\times 3102,0691 = 15200,1386\\ \mathrm{J}.
Portanto
W = 1,5200\times10^{4}\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox. }1,52\times10^{4}\\ \mathrm{J}).
Comentário: este trabalho é bem menor que o calor fornecido Q; faz sentido físico: a maior parte do calor é usada para romper ligações (energia interna) e só uma fração menor é trabalho mecânico de expansão.

Passo 6

Calcular a variação da energia interna usando \Delta U = Q - W. Usando os valores com mais casas:
\Delta U = 1,99566\times10^{5}\\ \mathrm{J} - 1,52001386\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Subtraindo:
\Delta U = 1,8436586\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Arredondando com 3 algarismos significativos (prática comum em questões físicas desta natureza):
\Delta U \approx 1,84\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, ao vaporizar 4,9\\ \mathrm{mol} de água a 100^\circ\mathrm{C}, a energia interna do sistema aumenta em cerca de 1,84\times10^{5}\\ \mathrm{J}. Dá pra ver que a maior parte do calor latente virou energia interna e só uma parcela menor virou trabalho de expansão — faz sentido físico, e você já conseguiu! Força na prova!

Resposta

\Delta U \approx 1,84\times10^{5}\\ \mathrm{J}

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