Um bloco de alumínio de 1,1 \mathrm{~kg} é aquecido à pressão atmosférica de modo que sua temperatura aumenta de 20,9^{\circ} \mathrm{C} para 45,1^{\circ} \mathrm{C}. Encontre a variação em sua energia interna, em Joule. Dados:
Pressão atmosférica =101300 \mathrm{~Pa}
Calor específico do alumínio =900 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}
Coeficiente de dilatação linear do alumínio =\mathbf{2 4} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{6}} \mathbf{C}^{\mathbf{\circ}} \mathbf{C}^{-\mathbf{1}}
Densidade do alumínio =2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O enunciado pede a variação da energia interna do bloco de alumínio quando ele é aquecido à pressão atmosférica. Informações dadas (tudo retirado diretamente do enunciado):
m=1,1\\ \mathrm{kg}
pressão atmosférica p=101300\\ \mathrm{Pa}
calor específico do alumínio c=900\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}
coeficiente de dilatação linear do alumínio \alpha=24\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}
densidade do alumínio \rho=2700\\ \mathrm{kg/m^3}
temperaturas inicial e final T_i=20,9^\circ\mathrm{C} e T_f=45,1^\circ\mathrm{C}
Pergunta que vamos responder: variação da energia interna \Delta U do bloco, em Joule.

Passo 2

Conceito físico central que vamos usar (aula rápida e prática): primeira lei da termodinâmica para o processo do corpo que recebe calor e realiza trabalho de expansão contra a pressão externa. A primeira lei, em forma útil, é
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna, Q é o calor fornecido ao sistema e W é o trabalho feito pelo sistema sobre o ambiente. Aqui o trabalho de expansão, a pressão externa sendo praticamente constante, é
W = p\,\Delta V,
onde \Delta V é a variação do volume do bloco.
Também precisamos da fórmula do calor para uma massa sólida aquecida:
Q = m\,c\,\Delta T,
onde \Delta T=T_f-T_i é a variação de temperatura.
Por fim, para a variação de volume de um sólido devido ao aquecimento uniforme, usamos a aproximação
\Delta V = V_0\,\beta\,\Delta T,
onde V_0 é o volume inicial, \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica. Para sólidos isotrópicos costuma-se usar \beta \approx 3\alpha, onde \alpha é o coeficiente linear (dado no enunciado). Vou explicar cada símbolo quando aparecer nos cálculos.

Passo 3

Calcule a variação de temperatura:
\Delta T = T_f - T_i = 45,1^\circ\mathrm{C} - 20,9^\circ\mathrm{C} = 24,2^\circ\mathrm{C}.
Agora calculamos o calor fornecido Q usando Q=m c \Delta T. Aqui:
  • m é a massa em \mathrm{kg},
  • c é o calor específico em \mathrm{J/(kg\,^\circ C)},
  • \Delta T em ^\circ\mathrm{C}.
Substituindo:
Q = 1,1\cdot 900\cdot 24,2 = 23958\\ \mathrm{J}.
Interpretando: se o bloco não fizesse trabalho (isto é, se estivesse em volume fixo), a variação de energia interna seria exatamente esse Q. Mas como ele se expande, parte do calor faz trabalho, então subtraímos p\Delta V.

Passo 4

Precisamos do volume inicial V_0. A relação massa/densidade dá o volume:
V_0 = \frac{m}{\rho} = \frac{1,1}{2700} = 4,074074\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
Explicação: massa em \mathrm{kg} dividida por densidade em \mathrm{kg/m^3} dá volume em \mathrm{m^3}.

Passo 5

Encontrar o coeficiente volumétrico \beta. Para um sólido isotrópico:
\beta \approx 3\alpha = 3\cdot(24\times10^{-6}) = 72\times10^{-6} = 7,2\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Explicação curta: \alpha diz quanto uma aresta (comprimento) cresce por grau; o volume cresce aproximadamente três vezes esse efeito, pois envolve as três direções.
Agora calculamos a variação do volume:
\Delta V = V_0\,\beta\,\Delta T
Substituindo os números:
\Delta V = 4,074074\times10^{-4}\cdot 7,2\times10^{-5}\cdot 24,2 = 7,0986665\times10^{-7}\\ \mathrm{m^3}.
Comentários para memorização: esse número é muito pequeno (a expansão volumétrica de sólidos para pequenas variações de temperatura costuma ser ínfima).

Passo 6

Calcular o trabalho W = p\,\Delta V. Substituindo:
W = 101300\cdot 7,0986665\times10^{-7} = 0,071909\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o trabalho realizado pela expansão é cerca de 7\times10^{-2}\\ \mathrm{J}, ou seja, desprezível frente aos 2{,}4\times10^{4}\\ \mathrm{J} do calor fornecido.

Passo 7

Agora aplicamos a primeira lei e obtemos a variação da energia interna:
\Delta U = Q - W = 23958 - 0,071909 = 23957,928091\\ \mathrm{J}.
Como as incertezas nos dados (por exemplo massa com dois algarismos, calor específico arredondado) excedem os décimos de joule, é razoável apresentar a resposta com pelo menos três algarismos significativos. Arredondando de forma prática:
\Delta U \approx 2,396\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Resposta

2,396\times10^{4}\\ \mathrm{J}

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