Num trabalho de terraplenagem determinaram-se as altitudes das estacas (quadrícula =20,0 \mathrm{x} 20,0 \mathrm{~m} ) pelo método de nivelamento geométrico. Dados (valores em m):
Estacas A.I. P.I. P.M. Cotas
RN 0,120 200,00
A1 1,860
B1 2,500
C1 3,300
A2 2,200
B2 2,400
C2 3,100
Com os dados acima pede-se:
a) projetar um plano inclinado de +3 \% na direção e sentido de A para C que resultará em \mathbf{V c}=\mathbf{V a};
b) calcular os volumes de corte e aterro para o plano inclinado (não considere talude de corte e saia de aterro), utilize a fórmula do tronco de pirâmide.

Passo 1

O enunciado dá as leituras de um nivelamento geométrico num arranjo de estacas em duas colunas ( 1 2) e três linhas (A–C), com malha de 20{,}0\times20{,}0 m. A partir disso temos:
\bullet Coluna “Ré” em RN: leitura 0{,}120 e cota conhecida 200{,}00.
\bullet Leituras de P.I. em A 1, B 1, C 1, A 2, B 2; leitura de P.M. em C 2.
Pede-se:
a) projetar um plano inclinado, com declividade +3\% no sentido de A \toC, de modo que o volume de corte V_c seja igual ao de aterro V_a;
b) calcular V_c e V_a pelo método do tronco de pirâmide.

Passo 2

Determinar as cotas das estacas pelo nivelamento geométrico. Primeiro o estalo da altura do instrumento:
H_{\rm inst}=\text{cota}_{\rm RN}+\text{leitura}_{\rm RN} =200{,}00+0{,}120=200{,}120\\ \text{m}.
Em seguida, para cada ponto medido:
\begin{aligned} \text{cota}_{A1}&=200{,}120-1{,}860=198{,}260\\ \text{m},\\\ \text{cota}_{B1}&=200{,}120-2{,}500=197{,}620\\ \text{m},\\\ \text{cota}_{C1}&=200{,}120-3{,}300=196{,}820\\ \text{m},\\\ \text{cota}_{A2}&=200{,}120-2{,}200=197{,}920\\ \text{m},\\\ \text{cota}_{B2}&=200{,}120-2{,}400=197{,}720\\ \text{m},\\\ \text{cota}_{C2}&=200{,}120-3{,}100=197{,}020\\ \text{m}. \end{aligned}

Passo 3

Definimos um sistema de coordenadas plano: eixo y cresce de A para C, com
y=0,m nas linhas A, y=20,m em B, y=40,m em C. O plano projetado tem declividade +3\% em y, logo
z(y)=z_0+0,03\,y,
onde z_0 é a cota do plano sobre as estacas da linha A ( y=0).

Passo 4

Para cada vértice calculamos a altura relativa
h_{ij}=\text{cota}_{ij}-\bigl(z_0+0{,}03\,y_{ij}\bigr).
Formam-se dois blocos quadriláteros de 20\times20=400 m ^2:
\bullet Bloco A–B: vértices A 1, A 2, B 2, B 1;
\bullet Bloco B–C: vértices B 1, B 2, C 2, C 1.
O volume algébrico de cada bloco pelo método do tronco de pirâmide (média das alturas em cada vértice) é
V_{\rm bloco}=\frac{h_1+h_2+h_3+h_4}{4}\times400.
Somando os dois blocos obtemos o volume total algébrico
V_{\rm total}(z_0) =(79032-400\,z_0)+(78558-400\,z_0) =157590-800\,z_0.
Impondo V_{\rm total}=0 (para que corte = aterro), resulta
157590-800\,z_0=0 \quad\Longrightarrow\quad z_0=\frac{157590}{800}=196{,}9875\\ \text{m}.

Passo 5

a) Portanto o plano projetado é
\boxed{z(y)=196{,}9875+0{,}03\,y.}
b) Com z_0=196{,}9875 m calculamos as alturas h_{ij} em cada bloco e separamos corte (positivas) e aterro (negativas). Os dois blocos têm, de modo simétrico, volume absoluto
V_c=V_a =400\times\frac{1{,}2725+0{,}9325+0{,}0325+0{,}1325}{4} =237{,}0\\ \text{m}^3.

Resposta

a) Plano: \displaystyle z(y)=196,9875+0,03\,y.
b) V_c=V_a=237,0, m^{3}.

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