O gasto médio por ano com alimentação e moradia para cursar uma faculdade de cinco anos é de R$6083,00. Considere que são selecionadas aleatoriamente 9 faculdades de cinco anos. Qual é a probabilidade de que o gasto por ano com alimentação e moradia seja menor que \mathrm{R} \7088,00 e maior que\mathrm{R} $ 5088,00 ?. Suponha que os gastos com alimentação e moradia sejam normalmente distribuidos, com um desvio padrão deçããR $1125,00$. Assinale a seguir a resposta certa desta questão.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 92,95 \%
\bigcirc b. 69,33 \%
\bigcirc c. 49,23 \%
\bigcirc d. 99,23 \% \checkmark
\bigcirc e. 89,77 \%

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a média do gasto anual com alimentação e moradia, numa amostra aleatória de 9 faculdades de cinco anos, esteja entre R\$\,5088,00 e R\$\,7088,00. As informações dadas são:
  • média populacional (gasto médio) \mu = R\$\,6083,00,
  • desvio padrão populacional \sigma = R\$\,1125,00,
  • tamanho da amostra n = 9,
  • intervalo desejado para a média amostral: entre R\$\,5088,00 e R\$\,7088,00.
    A questão supõe que os gastos são normalmente distribuídos. A tarefa: calcular P\bigl(5088 < \overline{X} < 7088\bigr).

Passo 2

Entendendo a distribuição da média amostral (explicação didática): quando a população é normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} de amostras de tamanho n também é normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão igual a \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Esse desvio padrão da média chama-se erro padrão. Fórmula:
\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
onde
  • \mu é a média populacional,
  • \sigma é o desvio padrão populacional,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média, que mede a variabilidade esperada das médias amostrais.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média (passo numérico):
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{R\$\,1125,00}{\sqrt{9}}.ã
Como \sqrt{9}=3,
\frac{R\$\,1125,00}{3} = R\$\,375,00.
Portanto \overline{X}\sim N\bigl(R\$\,6083,00,\;R\$\,375,00\bigr).

Passo 4

Padronizar os extremos do intervalo para usar a tabela da normal padrão (explicando o procedimento): para qualquer valor x da média amostral, o escore z é dado por
z=\frac{x-\mu}{\text{erro padrão}}=\frac{x-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.ã
Esse z diz quantos erros padrões x está afastado da média. Vamos calcular os dois z-scores.
Para o limite inferior x=R\$\,5088,00:
z_{\text{inf}}=\frac{5088-6083}{375}=\frac{-995}{375}=-2{,}6533\ldots
(aproximando, z_{\text{inf}}\approx -2{,}6533).
Para o limite superior x=R\$\,7088,00:
z_{\text{sup}}=\frac{7088-6083}{375}=\frac{1005}{375}=2{,}68.

Passo 5

Interpretar em termos da normal padrão e usar a tabela (ou função) da normal padrão: queremos
P\bigl(5088<\overline{X}<7088\bigr)=P\bigl(z_{\text{inf}}<Z<z_{\text{sup}}\bigr),
onde Z\sim N(0,1). Portanto
P\bigl(-2{,}6533<Z<2{,}68\bigr)=\Phi(2{,}68)-\Phi(-2{,}6533),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando a simetria da normal ( \Phi(-a)=1-\Phi(a)),
\Phi(2{,}68)-\Phi(-2{,}6533)=\Phi(2{,}68)+\Phi(2{,}6533)-1.
Consultando uma tabela da normal padrão (ou calculadora):
\Phi(2{,}68)\approx 0{,}9963,\qquad \Phi(2{,}6533)\approx 0{,}9960.
Somando e subtraindo 1:
0{,}9963+0{,}9960-1 = 0{,}9923.
Convertendo para porcentagem:
0{,}9923 = 99{,}23\%.

Passo 6

Interpretação final (motivação para a prova): o resultado significa que, se pegarmos amostras de 9 faculdades muitas vezes, cerca de 99{,}23\% das médias amostrais estarão entre R\$\,5088,00 e R\$\,7088,00. Nos cálculos passo a passo usamos (i) a distribuição da média amostral, (ii) o cálculo do erro padrão, (iii) a transformação para z e (iv) a leitura da tabela da normal padrão — procedimento padrão para esse tipo de problema em provas.

Resposta

d. 99,23\%

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