O gasto médio por ano com alimentação e moradia para cursar uma faculdade de cinco anos é de R$6083,00. Considere que são selecionadas aleatoriamente 9 faculdades de cinco anos. Qual é a probabilidade de que o gasto por ano com alimentação e moradia seja menor que\mathrm{R} \7088,00e maior que\mathrm{R} $ 5088,00?. Suponha que os gastos com alimentação e moradia sejam normalmente distribuidos, com um desvio padrão deR $1125,00$. Assinale a seguir a resposta certa desta questão.
Escolha uma opção: \bigcirc a. 92,95 \% \bigcirc b. 69,33 \% \bigcirc c. 49,23 \% \bigcirc d. 99,23 \% \checkmark \bigcirc e. 89,77 \%
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a média do gasto anual com alimentação e moradia, numa amostra aleatória de 9 faculdades de cinco anos, esteja entre R\$\,5088,00 e R\$\,7088,00. As informações dadas são:
média populacional (gasto médio) \mu = R\$\,6083,00,
desvio padrão populacional \sigma = R\$\,1125,00,
tamanho da amostra n = 9,
intervalo desejado para a média amostral: entre R\$\,5088,00 e R\$\,7088,00.
A questão supõe que os gastos são normalmente distribuídos. A tarefa: calcular P\bigl(5088 < \overline{X} < 7088\bigr).
Passo 2
Entendendo a distribuição da média amostral (explicação didática): quando a população é normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} de amostras de tamanho n também é normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão igual a \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Esse desvio padrão da média chama-se erro padrão. Fórmula:
Padronizar os extremos do intervalo para usar a tabela da normal padrão (explicando o procedimento): para qualquer valor x da média amostral, o escore z é dado por
Interpretação final (motivação para a prova): o resultado significa que, se pegarmos amostras de 9 faculdades muitas vezes, cerca de 99{,}23\% das médias amostrais estarão entre R\$\,5088,00 e R\$\,7088,00. Nos cálculos passo a passo usamos (i) a distribuição da média amostral, (ii) o cálculo do erro padrão, (iii) a transformação para z e (iv) a leitura da tabela da normal padrão — procedimento padrão para esse tipo de problema em provas.