Transforme para equação polar:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede: transformar a equação cartesiana
para a forma em coordenadas polares.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação é
. - Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar a relação entre coordenadas cartesianas
e polares
. Estas são as fórmulas básicas (estas são definições que você deve memorizar para trocar entre os sistemas):
Aqui:
-
é a distância do ponto à origem (sempre um número real; pode ser numa convenção, mas em polar às vezes usamos negativo para representar o mesmo ponto com deslocado de ); -
é o ângulo que o segmento do ponto à origem faz com o eixo positivo, medido em radianos (ou graus).
Passo 3
Substituímos a expressão de
em termos de
e
na equação dada
. Usando
obtemos:
Passo 4
Isolamos
para escrever a equação na forma habitual em polares. Dividindo por
(quando
) vem:
Comentários importantes sobre domínio: esta forma exige
, ou seja
para inteiro
. Para esses ângulos
e a expressão
fica indefinida (corresponde a
, que representa pontos muito distantes na vertical).
Passo 5
Interpretação geométrica e comportamento prático (útil na prova):
- A equação cartesiana
é a reta vertical que passa por . A forma polar descreve exatamente os mesmos pontos. - Para ângulos onde
(por exemplo ), é positivo: se então e o ponto é . - Para ângulos onde
(por exemplo ), a fórmula dá negativo: se então . Isso também representa o ponto , porque em polar aponta para o mesmo ponto que . Portanto a equação polar representa corretamente todos os pontos da reta, embora às vezes com negativo. - Em
muito perto de ou tem-se muito grande, que corresponde à reta estendendo-se indefinidamente para cima e para baixo.
Passo 6
Dica prática para prova: escreva primeiro
— é direto e sempre correto — e, se for conveniente, passe para
lembrando-se de anotar a condição
. Isso evita problemas com divisão por zero e mostra que entendeu a conversão.