Transforme para equação polar:
(a) x=5

Passo 1

O enunciado pede: transformar a equação cartesiana x=5 para a forma em coordenadas polares.
Informações dadas:
  • A equação é x=5.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar a relação entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta). Estas são as fórmulas básicas (estas são definições que você deve memorizar para trocar entre os sistemas):
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
Aqui:
  • \,r é a distância do ponto à origem (sempre um número real; pode ser r\ge 0 numa convenção, mas em polar às vezes usamos r negativo para representar o mesmo ponto com \theta deslocado de \pi);
  • \,\theta é o ângulo que o segmento do ponto à origem faz com o eixo x positivo, medido em radianos (ou graus).

Passo 3

Substituímos a expressão de x em termos de r e \theta na equação dada x=5. Usando x = r\cos\theta obtemos:
r\cos\theta = 5.

Passo 4

Isolamos r para escrever a equação na forma habitual em polares. Dividindo por \cos\theta (quando \cos\theta\neq 0) vem:
r = \frac{5}{\cos\theta} = 5\operatorname{sec}\theta.
Comentários importantes sobre domínio: esta forma exige \cos\theta\neq 0, ou seja \theta \neq \tfrac{\pi}{2} + k\pi para inteiro k. Para esses ângulos \cos\theta=0 e a expressão r=5\operatorname{sec}\theta fica indefinida (corresponde a r\to\pm\infty, que representa pontos muito distantes na vertical).

Passo 5

Interpretação geométrica e comportamento prático (útil na prova):
  • A equação cartesiana x=5 é a reta vertical que passa por x=5. A forma polar r\cos\theta=5 descreve exatamente os mesmos pontos.
  • Para ângulos onde \cos\theta>0 (por exemplo \theta=0), r é positivo: se \theta=0 então r=5 e o ponto é (5,0).
  • Para ângulos onde \cos\theta<0 (por exemplo \theta=\pi), a fórmula dá r negativo: se \theta=\pi então r=-5. Isso também representa o ponto (5,0), porque em polar r=-5,\\ \theta=\pi aponta para o mesmo ponto que r=5,\\ \theta=0. Portanto a equação polar representa corretamente todos os pontos da reta, embora às vezes com r negativo.
  • Em \theta muito perto de \tfrac{\pi}{2} ou \tfrac{3\pi}{2} tem-se |r| muito grande, que corresponde à reta estendendo-se indefinidamente para cima e para baixo.

Passo 6

Dica prática para prova: escreva primeiro r\cos\theta=5 — é direto e sempre correto — e, se for conveniente, passe para r=5\operatorname{sec}\theta lembrando-se de anotar a condição \cos\theta\neq0. Isso evita problemas com divisão por zero e mostra que entendeu a conversão.

Resposta

r\cos\theta=5 equivalemente r=5\operatorname{sec}\theta para \cos\theta\neq 0

Exercícios relacionados