A trajetória de uma partícula
no espalhamento de Rutherford pode ser aproximada pela seguinte hipérbole:
(Eq. 4-3 livro texto)
A distância de maior aproximação D em uma colisão frontal
no espalhamento de Rutherford pode ser obtida igualando-se a energia cinética inicial da partícula com a energia potencOial do sistema partícula
- núcleo.
a. Encontre o parâmetro
em função da carga elétrica da partícula a (ze) da carga elétrica do núcleo (Ze) e constantes universais (Eq. 4-4 livro-texto).
b. Encontre a relação do ângulo
com os parâmetros b e D (Eq. 4-5 livro-texto) na situação em que o r é infinito após o espalhamento. Use o fato que nesse regime
.
c. Mostre que se
, então a distância de maior aproximação R é dada por
e que essa expressão se reduz
A distância de maior aproximação D em uma colisão frontal
a. Encontre o parâmetro
b. Encontre a relação do ângulo
c. Mostre que se
Passo 1
O enunciado trata do espalhamento de Rutherford, cujo contorno da trajetória é dado pela hipérbole
e pede três coisas:
a) determinar o parâmetro em termos de
,
e constantes universais, usando que, para colisão frontal (
), a energia cinética inicial se converte totalmente em energia eletrostática de repulsão;
b) obter a relação entre o ângulo de deflexão e os parâmetros
e
, lembrando que quando
depois do espalhamento temos
;
c) mostrar que, se , então a distância de maior aproximação
vale
a) determinar o parâmetro
b) obter a relação entre o ângulo de deflexão
c) mostrar que, se
e que, usando
, chega-se a
Passo 2
Para a colisão frontal (
) a partícula chega até
e para aí parar momentaneamente, de modo que
ou seja
Logo
Passo 3
Para obter
, consideramos o ramo da hipérbole após o espalhamento: quando
,
, e o ângulo
final satisfaz
. Substituindo em
usamos
e
, obtendo
Rearranjando e reconhecendo
, vem
Passo 4
Para a distância de maior aproximação
tomamos o ponto de mínimo de
na hipérbole. Sabemos da geometria da trajetória que esse ponto ocorre quando
Basta então avaliar
Usando a relação
para eliminar
e fazendo a álgebra (ver nota de simplificação) chega-se a
Passo 5
Finalmente, note que
Substituindo em
obtém-se imediatamente
Resposta
a)
.\n
b) .\n
c) que, como
, torna-se
.
b)
c)