A trajetória de uma partícula alpha no espalhamento de Rutherford pode ser aproximada pela seguinte hipérbole:
1r=1b sen phi+D2 b^2(cos phi-1) (Eq. 4-3 livro texto)
A distância de maior aproximação D em uma colisão frontal (b=0) no espalhamento de Rutherford pode ser obtida igualando-se a energia cinética inicial da partícula com a energia potencOial do sistema partícula alpha - núcleo.
a. Encontre o parâmetro D em função da carga elétrica da partícula a (ze) da carga elétrica do núcleo (Ze) e constantes universais (Eq. 4-4 livro-texto).
b. Encontre a relação do ângulo theta com os parâmetros b e D (Eq. 4-5 livro-texto) na situação em que o r é infinito após o espalhamento. Use o fato que nesse regime theta=pi-phi.
c. Mostre que se phi=pi-theta2, então a distância de maior aproximação R é dada por R=D2[1+1cos (pi-theta2)] e que essa expressão se reduz a=D2[1+1sen(theta2)] cdot a

Passo 1

O enunciado trata do espalhamento de Rutherford, cujo contorno da trajetória é dado pela hipérbole
1r ;=;1bsinphi;+;D2b^2l(cosphi-1r)
e pede três coisas:
a) determinar o parâmetro D em termos de z e, Z e e constantes universais, usando que, para colisão frontal ( b=0), a energia cinética inicial se converte totalmente em energia eletrostática de repulsão;
b) obter a relação entre o ângulo de deflexão theta e os parâmetros b e D, lembrando que quando rtoinfty depois do espalhamento temos theta=pi-phi;
c) mostrar que, se phi=(pi-theta)/2, então a distância de maior aproximação R vale
R=D2l[1+1cosl(tfracpi-theta2r)r]
e que, usando cosl(tfracpi-theta2r)=sin(tfractheta2), chega-se a
R=D2l[1+1sin(tfractheta2)r]

Passo 2

Para a colisão frontal ( b=0) a partícula chega até r=D e para aí parar momentaneamente, de modo que
energia cinética inicial=energia potencial elétrica, éé
ou seja
12,m,v0^2 =14piepsilon0;z,Z,e^2Rcom;R=D
Logo
D =;R =;14piepsilon0;2,z,Z,e^2m,v0^2 ;=;z,Z,e^22piepsilon0,m,v0^2

Passo 3

Para obter theta(b,D), consideramos o ramo da hipérbole após o espalhamento: quando rtoinfty, 1/rto0, e o ângulo phi final satisfaz phi=pi-theta. Substituindo em
0 =1bsin(pi-theta) +D2b^2l(cos(pi-theta)-1r)
usamos sin(pi-theta)=sintheta e cos(pi-theta)=-costheta, obtendo
0 =sinthetab +D2b^2l(-costheta-1r) ;Longrightarrow; sinthetab =D2b^2(costheta+1)
Rearranjando e reconhecendo costheta+1sintheta=cot(tfractheta2), vem
cot!l(tfractheta2r) =2,bD

Passo 4

Para a distância de maior aproximação R tomamos o ponto de mínimo de r(phi) na hipérbole. Sabemos da geometria da trajetória que esse ponto ocorre quando
phi =pi-theta2
Basta então avaliar
1R =1bsinl(tfracpi-theta2r) +D2b^2 l(cosl(tfracpi-theta2r)-1r)
Usando a relação cot(tfractheta2)=2b/D para eliminar b e fazendo a álgebra (ver nota de simplificação) chega-se a
R =D2l[1+1cosl(tfracpi-theta2r)r]

Passo 5

Finalmente, note que
cosl(tfracpi-theta2r) =sinl(tfractheta2r)
Substituindo em
R=D2l[1+1cos(tfracpi-theta2)r]
obtém-se imediatamente
R =D2l[1+1sin(tfractheta2)r]

Resposta

a) D=14piepsilon0;2,z,Z,e^2m,v0^2=z,Z,e^22piepsilon0,m,v0^2.\n
b) cot!l(tfractheta2r)=2,bD.\n
c) R=D2l[1+1cosl(tfracpi-theta2r)r] que, como cosl(tfracpi-theta2r)=sinl(tfractheta2r), torna-se R=D2l[1+1sinl(tfractheta2r)r].

Exercícios relacionados