A TRAMSfORMAGAD
DADA POR
linear? Justifique. (2 ponto)
Passo 1
O enunciado fornece uma transformação
definida por
A pergunta é: \emph{
F
é linear?} (peça para ser justificada). As informações relevantes são: o domínio e contradomínio são
e a fórmula explícita de
em coordenadas é dada acima.
Passo 2
Vou lembrar a definição de transformação linear (isto é importante para a prova): uma aplicação
é linear se, e somente se, vale para todos os vetores
e todo escalar
as propriedades
e
Aqui
e
. Outra maneira de ver: se
é linear então cada componente de
deve ser uma função linear das variáveis
e
, isto é, de forma
sem termos quadráticos ou de produto como
. Vou usar essa definição para testar
.
Passo 3
Uma condição necessária (mas não suficiente) para linearidade é
, onde
. Calculando para
:
portanto essa condição é satisfeita. Mas isso não prova linearidade — precisamos testar as propriedades de aditividade ou homogeneidade.
Passo 4
Vou testar a aditividade com um contraexemplo simples. Tome
Calcule
,
e
:
logo
Agora calcule
:
Observamos que
Portanto a propriedade
falha, o que já basta para concluir que
não é linear.
Passo 5
Para reforçar a ideia, verifico também a homogeneidade com um exemplo: tome
e
. Então
enquanto
Como
, a propriedade
também falha. Isso é consequência direta de o primeiro componente de
ser
, um termo de produto que não é linear nas variáveis.
Passo 6
Conclusão lógica: já que a aditividade (e também a homogeneidade) não valem em geral,
não satisfaz a definição de transformação linear. Uma explicação conceitual rápida: o termo
é quadrático/bilíneo e introduz não linearidade; funções lineares em
teriam a forma
para cada componente, sem produtos entre coordenadas.
Resposta
Não; por exemplo, para
e
temos
, logo
não é linear.