A TRAMSfORMAGAD F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} DADA POR F(x, y)=(x y, x) e^{\prime} linear? Justifique. (2 ponto)

Passo 1

O enunciado fornece uma transformação F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
F(x,y)=(xy,\;x).
A pergunta é: \emph{ F é linear?} (peça para ser justificada). As informações relevantes são: o domínio e contradomínio são \mathbb{R}^2 e a fórmula explícita de F em coordenadas é dada acima.

Passo 2

Vou lembrar a definição de transformação linear (isto é importante para a prova): uma aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear se, e somente se, vale para todos os vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c\in\mathbb{R} as propriedades
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})
e
T(c\mathbf{u}) = c\,T(\mathbf{u}).
Aqui \mathbf{u}=(u_1,u_2) e \mathbf{v}=(v_1,v_2). Outra maneira de ver: se T é linear então cada componente de T(x,y) deve ser uma função linear das variáveis x e y, isto é, de forma
a x + b y
sem termos quadráticos ou de produto como xy. Vou usar essa definição para testar F.

Passo 3

Uma condição necessária (mas não suficiente) para linearidade é T(\mathbf{0})=\mathbf{0}, onde \mathbf{0}=(0,0). Calculando para F:
F(0,0) = (0\cdot 0,\;0) = (0,0),
portanto essa condição é satisfeita. Mas isso não prova linearidade — precisamos testar as propriedades de aditividade ou homogeneidade.

Passo 4

Vou testar a aditividade com um contraexemplo simples. Tome
\mathbf{u}=(1,0),\qquad \mathbf{v}=(0,1).
Calcule F(\mathbf{u}), F(\mathbf{v}) e F(\mathbf{u}+\mathbf{v}):
F(1,0) = (1\cdot 0,\;1) = (0,1),
F(0,1) = (0\cdot 1,\;0) = (0,0),
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F(1,0)+F(0,1) = (0,1)+(0,0) = (0,1).
Agora calcule F(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = F(1,1):
F(1,1) = (1\cdot 1,\;1) = (1,1).
Observamos que
F(1,1) = (1,1) \neq (0,1) = F(1,0)+F(0,1).
Portanto a propriedade F(\mathbf{u}+\mathbf{v})=F(\mathbf{u})+F(\mathbf{v}) falha, o que já basta para concluir que F não é linear.

Passo 5

Para reforçar a ideia, verifico também a homogeneidade com um exemplo: tome c=2 e \mathbf{w}=(1,1). Então
F(2\mathbf{w}) = F(2,2) = (2\cdot 2,\;2) = (4,2),
enquanto
2\,F(\mathbf{w}) = 2\,(1,1) = (2,2).
Como (4,2)\neq(2,2), a propriedade F(c\mathbf{w})=cF(\mathbf{w}) também falha. Isso é consequência direta de o primeiro componente de F ser xy, um termo de produto que não é linear nas variáveis.

Passo 6

Conclusão lógica: já que a aditividade (e também a homogeneidade) não valem em geral, F não satisfaz a definição de transformação linear. Uma explicação conceitual rápida: o termo xy é quadrático/bilíneo e introduz não linearidade; funções lineares em (x,y) teriam a forma ax+by para cada componente, sem produtos entre coordenadas.

Resposta

Não; por exemplo, para \mathbf{u}=(1,0) e \mathbf{v}=(0,1) temos F(\mathbf{u}+\mathbf{v})=F(1,1)=(1,1)\neq(0,1)=F(\mathbf{u})+F(\mathbf{v}), logo F não é linear.

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