Para cada transformação linear a seguir, determine: T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x-y-2 z,-x+2 y+z, x-3 z).
Passo 1
Enunciado dado: a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x-y-2z,\; -x+2y+z,\; x-3z).
Vou determinar as informações que normalmente se pede para uma transformação linear nesta situação:
a matriz de T na base padrão de \mathbb{R}^3;
o núcleo \ker(T) (base e dimensão);
a imagem \operatorname{Im}(T) (base, dimensão e equação do plano imagem);
o posto (\operatorname{rank}) e a nulidade (\operatorname{nullity});
se T é injetora, sobrejetora ou inversível (e justificar).
Passo 2
Primeiro vamos obter a matriz de T na base canônica. Lembremos que as colunas da matriz são T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
Como \det(A)=0, A não é inversível e T não é isomorfismo.]
Passo 4
Agora vamos achar o núcleo e o posto via eliminação de Gauss em [A). Montamos o sistema homogêneo A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}=0, equivalendo a resolver o sistema linear:
fazendo R_3\leftarrow R_3-R_2. Essa forma escalonada mostra que há dois pivôs (colunas 1 e 2) e uma linha nula: o posto é 2.
Das equações escalonadas obtemos:
\begin{cases} y - z = 0 \Rightarrow y=z,\\[4pt] x - y - 2z = 0 \Rightarrow x - z - 2z =0 \Rightarrow x = 3z. \end{cases}
Tomando parâmetro (t=z], os vetores do núcleo têm a forma (x,y,z)=(3t,\; t,\; t)=t(3,1,1).]
Passo 5
Conclusões sobre núcleo, nulidade e posto:
\ker(T)=\operatorname{span}\{(3,1,1)\}.
\dim(\ker(T))=1 (nulidade =1).
\operatorname{rank}(T)=\operatorname{rank}(A)=2.
Esses valores estão de acordo com o Teorema do Posto-Nulidade: \operatorname{rank}+\operatorname{nullity}=3.
Passo 6
Vamos obter uma base para a imagem e a equação do plano imagem. Como as colunas 1 e 2 de A são colunas-pivô na eliminação, uma base para \operatorname{Im}(T) é formada pelas duas primeiras colunas:
Para encontrar a equação do plano imagem, procuramos um vetor normal n=(a,b,c) ortogonal a todas as colunas da imagem, isto é, satisfazendo A^{T}n=0. Resolvend o sistema obtemos, por exemplo, de -a+2b=0\Rightarrow a=2b e a-b+c=0\Rightarrow c=-b. Tomando b=1 temos n=(2,1,-1). Assim todo vetor (u,v,w)\in\operatorname{Im}(T) satisfaz
2u+v-w=0,
e esse é exatamente o plano imagem.
Passo 7
Interpretação final e propriedades:
T não é injetora (pois \ker(T)\neq\{0\}).
T não é sobrejetora (pois \operatorname{Im}(T) é um plano próprio de \mathbb{R}^3, dimensão 2).
T não é inversível (já visto pelo determinante nulo).
Força motivadora: deu trabalho, mas você já tem todas as ferramentas principais para lidar com transformações lineares na prova — matriz, posto, núcleo e imagem. Vai dar certo!
\ker(T)=\operatorname{span}\{(3,1,1)\} \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1),\;(-1,2,0)\}
Equação do plano imagem: 2u+v-w=0 (para (u,v,w)\in\operatorname{Im}(T)) \operatorname{rank}(T)=2 \dim\ker(T)=1 T não é injetora, não é sobrejetora e não é inversível.]