Para cada transformação linear a seguir, determine:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x-y-2 z,-x+2 y+z, x-3 z).

Passo 1

Enunciado dado: a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x-y-2z,\; -x+2y+z,\; x-3z).
Vou determinar as informações que normalmente se pede para uma transformação linear nesta situação:
  • a matriz de T na base padrão de \mathbb{R}^3;
  • o núcleo \ker(T) (base e dimensão);
  • a imagem \operatorname{Im}(T) (base, dimensão e equação do plano imagem);
  • o posto ( \operatorname{rank}) e a nulidade ( \operatorname{nullity});
  • se T é injetora, sobrejetora ou inversível (e justificar).

Passo 2

Primeiro vamos obter a matriz de T na base canônica. Lembremos que as colunas da matriz são T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
Calculemos:
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,-1,1),
T(e_2)=T(0,1,0)=(-1,2,0),
T(e_3)=T(0,0,1)=(-2,1,-3).
Portanto a matriz A de T (colunas acima) é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Verificamos se T é invertível calculando o determinante de A. Usando expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]0 & -3\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Agora cada 2×2:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]0 & -3\end{pmatrix}=2\cdot(-3)-1\cdot0=-6,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix}=(-1)(-3)-1\cdot1=3-1=2,
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}=(-1)\cdot0-2\cdot1=-2.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-6)-(-1)\cdot 2 + (-2)\cdot(-2) = -6+2+4=0.
Como \det(A)=0, A não é inversível e T não é isomorfismo.]

Passo 4

Agora vamos achar o núcleo e o posto via eliminação de Gauss em [A). Montamos o sistema homogêneo A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}=0, equivalendo a resolver o sistema linear:
Linha 1: x - y - 2z = 0.
Linha 2: -x + 2y + z = 0.
Linha 3: x + 0y - 3z = 0.
Representação matricial e eliminação:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -3 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},
onde fizemos R_2\leftarrow R_2+R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Em seguida
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
fazendo R_3\leftarrow R_3-R_2. Essa forma escalonada mostra que há dois pivôs (colunas 1 e 2) e uma linha nula: o posto é 2.
Das equações escalonadas obtemos:
\begin{cases} y - z = 0 \Rightarrow y=z,\\[4pt] x - y - 2z = 0 \Rightarrow x - z - 2z =0 \Rightarrow x = 3z. \end{cases}
Tomando parâmetro (t=z], os vetores do núcleo têm a forma
(x,y,z)=(3t,\; t,\; t)=t(3,1,1).]

Passo 5

Conclusões sobre núcleo, nulidade e posto:
  • \ker(T)=\operatorname{span}\{(3,1,1)\}.
  • \dim(\ker(T))=1 (nulidade =1).
  • \operatorname{rank}(T)=\operatorname{rank}(A)=2.
Esses valores estão de acordo com o Teorema do Posto-Nulidade: \operatorname{rank}+\operatorname{nullity}=3.

Passo 6

Vamos obter uma base para a imagem e a equação do plano imagem. Como as colunas 1 e 2 de A são colunas-pivô na eliminação, uma base para \operatorname{Im}(T) é formada pelas duas primeiras colunas:
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1),\;(-1,2,0)\}.
Dimensão da imagem é 2 (posto).
Para encontrar a equação do plano imagem, procuramos um vetor normal n=(a,b,c) ortogonal a todas as colunas da imagem, isto é, satisfazendo A^{T}n=0. Resolvend o sistema obtemos, por exemplo, de -a+2b=0\Rightarrow a=2b e a-b+c=0\Rightarrow c=-b. Tomando b=1 temos n=(2,1,-1). Assim todo vetor (u,v,w)\in\operatorname{Im}(T) satisfaz
2u+v-w=0,
e esse é exatamente o plano imagem.

Passo 7

Interpretação final e propriedades:
  • T não é injetora (pois \ker(T)\neq\{0\}).
  • T não é sobrejetora (pois \operatorname{Im}(T) é um plano próprio de \mathbb{R}^3, dimensão 2).
  • T não é inversível (já visto pelo determinante nulo).
Força motivadora: deu trabalho, mas você já tem todas as ferramentas principais para lidar com transformações lineares na prova — matriz, posto, núcleo e imagem. Vai dar certo!

Resposta

Matriz de T:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}
\ker(T)=\operatorname{span}\{(3,1,1)\}
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1),\;(-1,2,0)\}
Equação do plano imagem: 2u+v-w=0 (para (u,v,w)\in\operatorname{Im}(T))
\operatorname{rank}(T)=2
\dim\ker(T)=1
T não é injetora, não é sobrejetora e não é inversível.]

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