Verifique se os sistemas abaixo são normais:
\left\{\begin{array}{l}x-3 y-z=6 \\\ x+4 y+7 z=17 \\\\ -x+6 y+6 z=19\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de três equações com três incógnitas:
\begin{cases} x-3y-z=6\\[4pt] x+4y+7z=17\\[4pt] -x+6y+6z=19 \end{cases}
O objetivo é verificar se esse sistema é classificado como “normal”. Para isso, precisamos analisar os coeficientes das incógnitas e os termos independentes (os números à direita das equações).]

Passo 2

Um sistema linear quadrado (mesmo número de equações e incógnitas) é considerado “normal” quando o “posto” da matriz de coeficientes é máximo, o que equivale a dizer que a matriz de coeficientes é invertível. Para matrizes 3\times3, podemos verificar isso calculando o determinante da matriz de coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem uma única solução, sendo, portanto, normal. Em resumo, para um sistema 3\times3, calcular o determinante é uma forma rápida de verificar se ele é normal.

Passo 3

A matriz de coeficientes A extraída das equações do sistema é:
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1\\[4pt] 1 & 4 & 7\\[4pt] -1 & 6 & 6 \end{pmatrix}
Para calcular o determinante de A, denotado por \det(A), utilizaremos a fórmula de expansão.]

Passo 4

A fórmula geral para o determinante de uma matriz 3\times3
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
é dada por:
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Onde a_{ij} representa o elemento da linha i e coluna j da matriz A. Substituindo os valores da matriz A, temos:
a_{11}=1,\; a_{12}=-3,\; a_{13}=-1,\; a_{21}=1,\; a_{22}=4,\; a_{23}=7,\; a_{31}=-1,\; a_{32}=6,\; a_{33}=6.
Calculando cada termo:
a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})=1\big(4\cdot6-7\cdot6\big)=1(24-42)=1(-18)=-18.
-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})=-(-3)\big(1\cdot6-7\cdot(-1)\big)=3(6-(-7))=3(13)=39.
a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=-1\big(1\cdot6-4\cdot(-1)\big)=-1(6-(-4))=-1(10)=-10.
Somando os resultados:
\det(A)=-18+39-10 = 11.]

Passo 5

Como \det(A)=11\neq0, a matriz de coeficientes é invertível e o sistema tem solução única. Portanto, o sistema é normal. O procedimento padrão é montar a matriz de coeficientes e verificar se o determinante é zero ou não. Para matrizes 3\times3, a regra de Sarrus ou a fórmula utilizada são métodos eficientes e rápidos para aplicar.

Resposta

Sim. \det(A)=11\neq0, logo o sistema é normal.

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