Transferência de Calor em Estado Estacionário em Cilindros Infinitos sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \mathrm{~T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
\mathrm{~L}=5 \mathrm{~m} \mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm}
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine:
A taxa de calor em c;

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro composto em regime estacionário sem geração de calor, com três camadas cilíndricas (metal de condutividade k entre raios R_{1} e R_{2}, isolamento de condutividade k_{1} entre R_{2} e R_{3}) e convecção interna ( h_{1}, T_{1}) e externa ( h_{2}, T_{2}). O objetivo é calcular a taxa de calor Q. Vamos usar o método de resistências térmicas em série no regime radial:
  1. resistência de convecção interna,
  2. resistência de condução no cilindro metálico,
  3. resistência de condução no isolamento,
  4. resistência de convecção externa.
    Em seguida aplicamos
Q = \frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\text{tot}}}\,.

Passo 2

Escrevemos as expressões das resistências térmicas por unidade de temperatura:
R_{\text{conv,1}} = \frac{1}{h_{1}\,2\pi R_{1} L}
R_{\text{cond,met}} = \frac{\ln\bigl(R_{2}/R_{1}\bigr)}{2\pi k\,L}
R_{\text{cond,iso}} = \frac{\ln\bigl(R_{3}/R_{2}\bigr)}{2\pi k_{1}\,L}
R_{\text{conv,2}} = \frac{1}{h_{2}\,2\pi R_{3} L}
e a resistência total é
R_{\text{tot}} = R_{\text{conv,1}} + R_{\text{cond,met}} + R_{\text{cond,iso}} + R_{\text{conv,2}}.

Passo 3

Substituindo os valores ( L=5 m; R_{1}=0{,}10 m; R_{2}=0{,}20 m; R_{3}=0{,}25 m; h_{1}=12, h_{2}=5; k=14, k_{1}=0{,}05):
R_{\text{conv,1}} = \frac{1}{12\cdot 2\pi\cdot 0{,}10\cdot 5} =0{,}0265\;\mathrm{K/W}
R_{\text{cond,met}} = \frac{\ln(0{,}20/0{,}10)}{2\pi\cdot 14\cdot 5} =\frac{0{,}6931}{439{,}8} =0{,}00158\;\mathrm{K/W}
R_{\text{cond,iso}} = \frac{\ln(0{,}25/0{,}20)}{2\pi\cdot 0{,}05\cdot 5} =\frac{0{,}2231}{1{,}5708} =0{,}1421\;\mathrm{K/W}
R_{\text{conv,2}} = \frac{1}{5\cdot 2\pi\cdot 0{,}25\cdot 5} =\frac{1}{39{,}27} =0{,}0255\;\mathrm{K/W}

Passo 4

Calculamos a resistência total e a taxa de calor:
R_{\text{tot}} = 0{,}0265 + 0{,}00158 + 0{,}1421 + 0{,}0255 =0{,}1957\;\mathrm{K/W}
Q = \frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\text{tot}}} = \frac{120 - 25}{0{,}1957} = \frac{95}{0{,}1957} \approx 486\;\mathrm{W}

Resposta

A taxa de calor vale aproximadamente 486 W.

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