(Transferência Fuvest 2013) Seja f(x)=a x+\frac{b}{x^{2}}, em que a e b são números reais. Sabe-se que x=1 é ponto de máximo local e que f(1) f(-1)=-3, Nessas condições, a+b vale
a. -3 .
b. -1 .
c. 0 .
d. 1 .
e. 3 .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=a\,x+\frac{b}{x^{2}}
e afirma que x=1 é ponto de máximo local e que
f(1)\,f(-1)=-3.
Queremos encontrar o valor de a+b. Para isso, vamos usar (1) a condição de ponto crítico f'(1)=0, (2) a condição de máximo local f''(1)<0 e (3) a relação do produto f(1)f(-1).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=a - \frac{2b}{x^{3}}.
A condição de ponto crítico em x=1 exige
f'(1)=a - 2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 2b.

Passo 3

Agora a derivada segunda:
f''(x)=\frac{6b}{x^{4}}.
Para ter máximo em x=1, precisamos de
f''(1)=6b<0 \quad\Longrightarrow\quad b<0.

Passo 4

Avaliamo-os f(1) e f(-1):
f(1)=a+b, \qquad f(-1)=-a+b.
A condição do enunciado diz
f(1)\,f(-1)=(a+b)(-a+b)=b^{2}-a^{2}=-3.

Passo 5

Como a=2b, substituímos em b^{2}-a^{2}=-3:
b^{2} - (2b)^{2} = b^{2}-4b^{2} = -3b^{2} = -3 \quad\Longrightarrow\quad b^{2}=1.
Mas sabemos que b<0, logo b=-1 e então a=2b=-2.

Passo 6

Por fim,
a+b = -2 + (-1) = -3.

Resposta

-3

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