Sejam a, b>0. Mostre que \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(a^{x}+b^{x}\right)^{1 / x}=\max \{a, b\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(a^x + b^x\bigr)^{1/x}
onde a>0 e b>0.
O conteúdo aqui envolve limites de funções exponenciais e uso do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Vamos precisar usar a ideia de “fatorar” a maior das duas quantidades a^x e b^x para extrair um fator comum e isolar o que sobra dentro da raiz.

Passo 2

Defina
M = \max\{a,b\}.
Então M>0 e temos a\le M, b\le M. Podemos escrever
a^x + b^x = M^x\Bigl((a/M)^x + (b/M)^x\Bigr).
Logo
\bigl(a^x + b^x\bigr)^{1/x} = \bigl(M^x\bigl((a/M)^x+(b/M)^x\bigr)\bigr)^{1/x} = M\;\Bigl((a/M)^x+(b/M)^x\Bigr)^{1/x}.

Passo 3

Chame
S(x) = (a/M)^x + (b/M)^x.
Como 0<a/M\le1 e 0<b/M\le1, fica
0 < (a/M)^x \le1, \quad 0 < (b/M)^x \le1,
portanto
1 \;=\;1^x \;\le\;(a/M)^x + (b/M)^x \;\le\;1+1=2,
isto é,
1 \;\le\;S(x)\;\le\;2.

Passo 4

Agora tomamos a raiz de índice x em S(x). Para todo x>0 vale
1 \;\le\;S(x)\;\le2 \quad\Longrightarrow\quad 1 \;\le\;[S(x)]^{1/x}\;\le\;2^{1/x}.
Como \lim_{x\to+\infty}2^{1/x}=1, pelo Teorema do Confronto segue
\lim_{x\to+\infty}[S(x)]^{1/x} = 1.

Passo 5

Voltando à expressão principal, de

Passo 6

\lim_{x\to+\infty}\bigl(a^x + b^x\bigr)^{1/x} = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(M\cdot[S(x)]^{1/x}\Bigr) = M\cdot1 = M.

Resposta

\displaystyle \max\{a,b\}

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