9-13 A steady, two-dimensional, incompressible velocity field has Cartesian velocity components u=C y /\left(x^{2}+y^{2}\right) and v=-C x /\left(x^{2}+y^{2}\right), where C is a constant. Transform these Cartesian velocity components into cylindrical velocity components u_{r} and u_{\theta}, simplifying as much as possible. You should recognize this flow. What kind of flow is this? Answer: 0,-\mathrm{C} / \mathrm{r}, line vortex

Passo 1

O enunciado nos dá as componentes cartesianas da velocidade de um escoamento bidimensional e pede para transformá‑las nas componentes cilíndricas e identificar o tipo de escoamento.
Informações fornecidas:
  • As componentes cartesianas são u=C\,\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} e v=-C\,\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}, onde C é constante.
  • Pede-se encontrar as componentes cilíndricas u_{r} e u_{\theta} (simplificadas).
  • Pede‑se reconhecer que tipo de escoamento isto representa.

Passo 2

Relembrar as relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas e reescrever u e v em termos de r e \theta.
Definições e substituições:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Substituindo em u e v:
u = C\,\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} = C\,\dfrac{r\sin\theta}{r^{2}} = C\,\dfrac{\sin\theta}{r},
v = -C\,\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} = -C\,\dfrac{r\cos\theta}{r^{2}} = -C\,\dfrac{\cos\theta}{r}.
Agora u e v estão expressos em termos de r e \theta.

Passo 3

Explicar como obter u_{r} e u_{\theta} a partir de u e v.
Definição das direções unitárias em coordenadas cilíndricas:
\mathbf{e}_{r} = (\cos\theta,\;\sin\theta),\qquad \mathbf{e}_{\theta} = (-\sin\theta,\;\cos\theta).
A velocidade vetorial em componentes cartesianas é \mathbf{u}=u\,\mathbf{i}+v\,\mathbf{j}.
As componentes cilíndricas são obtidas pelos produtos escalares:
u_{r} = \mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_{r} = u\cos\theta + v\sin\theta,
u_{\theta} = \mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_{\theta} = -u\sin\theta + v\cos\theta.
Estas fórmulas significam: projetar a velocidade nas direções radial e tangencial.

Passo 4

Calcular u_{r} usando as expressões de u e v em termos de r,\theta.
Substituindo:
u_{r} = u\cos\theta + v\sin\theta = \left(C\,\dfrac{\sin\theta}{r}\right)\cos\theta + \left(-C\,\dfrac{\cos\theta}{r}\right)\sin\theta.
Agrupando termos:
u_{r} = \dfrac{C}{r}\bigl(\sin\theta\cos\theta - \cos\theta\sin\theta\bigr).
Como \sin\theta\cos\theta - \cos\theta\sin\theta = 0, segue
u_{r} = 0.

Passo 5

Calcular u_{\theta} usando as expressões de u e v.
Substituindo:
u_{\theta} = -u\sin\theta + v\cos\theta = -\left(C\,\dfrac{\sin\theta}{r}\right)\sin\theta + \left(-C\,\dfrac{\cos\theta}{r}\right)\cos\theta.
Agrupando:
u_{\theta} = -\dfrac{C}{r}\bigl(\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta\bigr).
Como \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1, obtemos
u_{\theta} = -\dfrac{C}{r}.

Passo 6

Resumo das componentes cilíndricas simplificadas e comentários físicos curtos.
As componentes obtidas são
u_{r}=0,\qquad u_{\theta}=-\dfrac{C}{r}.
Interpretação física:
  • u_{r}=0 significa que não há componente radial: o escoamento é puramente circular ao redor da origem.
  • u_{\theta}\propto\dfrac{1}{r} indica que a velocidade tangencial decresce como 1/r.
  • Esse perfil é o de um vórtice de linha (ou ponto-vortex em 2D) situado na origem: um escoamento giratório com circulação não nula e vorticidade nula em todo ponto fora da origem (a singularidade está no centro).
  • A circulação ao redor de um círculo de raio r é
\Gamma=\int_{0}^{2\pi} u_{\theta}\,r\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\left(-\dfrac{C}{r}\right)r\,d\theta = -2\pi C,
portanto a força do vórtice (sinal e módulo) está relacionada a C.

Resposta

u_{r}=0
u_{\theta}=-\dfrac{C}{r}
Line vortex (vórtice de linha / point vortex)

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