9-13 A steady, two-dimensional, incompressible velocity field has Cartesian velocity components
and
, where
is a constant. Transform these Cartesian velocity components into cylindrical velocity components
and
, simplifying as much as possible. You should recognize this flow. What kind of flow is this? Answer:
, line vortex
Passo 1
O enunciado nos dá as componentes cartesianas da velocidade de um escoamento bidimensional e pede para transformá‑las nas componentes cilíndricas e identificar o tipo de escoamento.
Informações fornecidas:
- As componentes cartesianas são
e , onde é constante. - Pede-se encontrar as componentes cilíndricas
e (simplificadas). - Pede‑se reconhecer que tipo de escoamento isto representa.
Passo 2
Relembrar as relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas e reescrever
e
em termos de
e
.
Definições e substituições:
Substituindo em
e
:
Agora
e
estão expressos em termos de
e
.
Passo 3
Explicar como obter
e
a partir de
e
.
Definição das direções unitárias em coordenadas cilíndricas:
A velocidade vetorial em componentes cartesianas é
.
As componentes cilíndricas são obtidas pelos produtos escalares:
As componentes cilíndricas são obtidas pelos produtos escalares:
Estas fórmulas significam: projetar a velocidade nas direções radial e tangencial.
Passo 4
Calcular
usando as expressões de
e
em termos de
.
Substituindo:
Agrupando termos:
Como
, segue
Passo 5
Calcular
usando as expressões de
e
.
Substituindo:
Agrupando:
Como
, obtemos
Passo 6
Resumo das componentes cilíndricas simplificadas e comentários físicos curtos.
As componentes obtidas são
Interpretação física:
-
significa que não há componente radial: o escoamento é puramente circular ao redor da origem. -
indica que a velocidade tangencial decresce como . - Esse perfil é o de um vórtice de linha (ou ponto-vortex em 2D) situado na origem: um escoamento giratório com circulação não nula e vorticidade nula em todo ponto fora da origem (a singularidade está no centro).
- A circulação ao redor de um círculo de raio
é
portanto a força do vórtice (sinal e módulo) está relacionada a
.
Resposta
Line vortex (vórtice de linha / point vortex)