Se a transforma de Laplace de uma função f(t) é dada por F(s)=s-22 s^2+2 s+2. Calcule f(t).

Passo 1

O enunciado pede para inverter a transformada de Laplace
F(s)=s-22s^2+2s+2
ou seja, encontrar f(t)=L^-1F(s). Vamos usar completamento de quadrado no denominador e as fórmulas conhecidas
Le^-atcos(bt)=s+a(s+a)^2+b^2, Le^-atsin(bt)=b(s+a)^2+b^2

Passo 2

Fatoramos o denominador extraindo 2:
F(s) =s-22l(s^2+s+1r) =s-22l[(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2r]
Defina u=s+tfrac12 e a=tfracraiz32. Então
s-2=(u-tfrac12)-2 =u-tfrac52,
e o denominador vira 2(u^2+a^2).

Passo 3

Escrevendo em termos de u:
F(s) =u-tfrac522(u^2+a^2) =12,uu^2+a^2 -54,1u^2+a^2

Passo 4

Cada termo é inversível:
  1. uu^2+a^2=s+tfrac12(s+tfrac12)^2+a^2 inverte para e^-t/2cos(at).
  2. 1u^2+a^2=1a,au^2+a^2 inverte para 1a,e^-t/2sin(at).
Logo
L^-1ltfrac12,tfracuu^2+a^2r =tfrac12,e^-t/2cosl(a,tr), L^-1ltfrac54,tfrac1u^2+a^2r =tfrac54,1a,e^-t/2sinl(a,tr)

Passo 5

Substituindo a=tfracraiz32 e combinando com o sinal negativo:
f(t) =12,e^-t/2cos!l(tfracraiz32tr) -54,1tfracraiz32,e^-t/2sin!l(tfracraiz32tr) =12e^-t/2cos!l(tfracraiz32tr) -52raiz3,e^-t/2sin!l(tfracraiz32tr)

Resposta

f(t) =12,e^-t/2cos!l(tfracraiz32tr) -52raiz3,e^-t/2sin!l(tfracraiz32tr)

Exercícios relacionados