A transformação de coordenadas
é realizada pela matriz de transformação de coordenadas
. Mostre que o produto escalar é invariante frente a esta transformação, isto é,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob a transformação de coordenadas definida pela matriz
, o produto escalar de dois vetores continua o mesmo:
. O conteúdo é invariância do produto escalar sob transformações ortogonais, e vamos precisar das definições de transformação de componentes e da propriedade de ortonormalidade de
.
Passo 2
Supondo que as componentes de
e
mudam segundo
onde usamos a convenção de soma em índices repetidos.
Passo 3
O produto escalar em coordenadas primadas é dado por
pois
Passo 4
Substituindo isso na expressão do produto escalar, temos
Passo 5
Portanto, mostramos que o produto escalar é de fato invariante diante da transformação de coordenadas ortogonal.