A transformação de coordenadas lambda é realizada pela matriz de transformação de coordenadas A^prime cdot B^prime=A cdot B. Mostre que o produto escalar é invariante frente a esta transformação, isto é, .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob a transformação de coordenadas definida pela matriz lambda, o produto escalar de dois vetores continua o mesmo: vec A'cdotvec B'=vec Acdotvec B. O conteúdo é invariância do produto escalar sob transformações ortogonais, e vamos precisar das definições de transformação de componentes e da propriedade de ortonormalidade de lambda.

Passo 2

Supondo que as componentes de vec A e vec B mudam segundo
A'i=lambdaijAje B'i=lambdaijBj,
onde usamos a convenção de soma em índices repetidos.

Passo 3

O produto escalar em coordenadas primadas é dado por
vec A'cdotvec B'=de
pois de é o tensor métrico no espaço euclidiano, que soma produtos de componentes. Como lambda é ortogonal, vale
lambdaik,lambdaiell=de

Passo 4

Substituindo isso na expressão do produto escalar, temos
vec A'cdotvec B'=de

Passo 5

Portanto, mostramos que o produto escalar é de fato invariante diante da transformação de coordenadas ortogonal.

Resposta

vec A'cdotvec B'=vec Acdotvec B

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