Seja o vetor
escrito em coordenadas esféricas
(a) Obtenha os vetores unitários
usando as expressões abaixo
onde
.
(b) Mostre que estes vetores
, e
são ortonormais.
© Usando a transformação para as componentes
mostre que o gradiente, neste sistema de coordenadas, é
(d) Mostre também que o Laplaciano fica
(b) Mostre que estes vetores
© Usando a transformação para as componentes
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com o vetor posição em coordenadas esféricas e encontrar os vetores unitários dessa base, mostrar que são ortonormais e então obter as expressões do gradiente e do Laplaciano nesse sistema de coordenadas. Vamos usar derivadas parciais de
, escalares de escala (
Passo 2
,
Resposta
Os vetores unitários em coordenadas esféricas são:
Eles são ortonormais, ou seja,
.
O gradiente em coordenadas esféricas fica:
O laplaciano em coordenadas esféricas é: