Seja o vetor r escrito em coordenadas esféricas
r=r sen theta cos phi imath+r sen theta sen phi jmath+r cos theta k
(a) Obtenha os vetores unitários er, etheta, ephi usando as expressões abaixo
er=1h1 d rd r ; etheta=1h2 d rd theta ; ephi=1h3 d rd phi
onde h1=|d r / d r|, h2=|d r / d theta|, h3=|d r / d phi|.
(b) Mostre que estes vetores er, etheta, e ephi são ortonormais.
© Usando a transformação para as componentes
partialpartial xi^prime=sumj partial xjpartial xi^prime partialpartial xj,
mostre que o gradiente, neste sistema de coordenadas, é
nabla=er partialpartial r+ethetar partialpartial theta+ephir sen theta partialpartial phi
(d) Mostre também que o Laplaciano fica
nabla^2=1r^2 partialpartial r(r^2 partialpartial r)+1r^2 sen theta partialpartial theta(sen theta partialpartial theta)+1r^2 sen^2 theta partial^2partial phi^2

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o vetor posição em coordenadas esféricas e encontrar os vetores unitários dessa base, mostrar que são ortonormais e então obter as expressões do gradiente e do Laplaciano nesse sistema de coordenadas. Vamos usar derivadas parciais de vec r(x,y,z), escalares de escala (

Passo 2

,

Resposta

Os vetores unitários em coordenadas esféricas são:
hat er=sinthetacosphi,hat i+sinthetasinphi,hat j+costheta,hat k
hat etheta=costhetacosphi,hat i+costhetasinphi,hat j-sintheta,hat k
hat ephi=-sinphi,hat i+cosphi,hat j
Eles são ortonormais, ou seja, hat eicdothat ej=de.
O gradiente em coordenadas esféricas fica:
vecnabla=hat erpartialpartial r+hat ethetarpartialpartialtheta+hat ephirsinthetapartialpartialphi
O laplaciano em coordenadas esféricas é:
nabla^2=1r^2partialpartial rl(r^2partialpartial rr)+1r^2sinthetapartialpartialthetal(sinthetapartialpartialthetar)+1r^2sin^2thetapartial^2partialphi^2

Exercícios relacionados