Se T é uma transformação linear invertível, mostre que T^-1 também é linear.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear invertível
T: V to W
entre espaços vetoriais sobre um mesmo corpo. Como T é invertível, existe
T^-1: Wto V
tais que
T^-1(T(v))=v, T(T^-1(w))=w
Para mostrar que T^-1 é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer w1,w2in W e qualquer escalar alpha:
  1. Aditividade: T^-1(w1 + w2)=T^-1(w1)+T^-1(w2).
  2. Homogeneidade: T^-1(alpha w)=alpha,T^-1(w).

Passo 2

Como T é bijetora, para cada win W existe único vin V tal que T(v)=w. Em particular, para w1,w2in W podemos escrever
w1=T(v1), w2=T(v2)
com v1=T^-1(w1) e v2=T^-1(w2).

Passo 3

(Prova da aditividade)
Começamos com a soma w1+w2:
T^-1(w1 + w2) = T^-1l(T(v1)+T(v2)r)
Como T é linear, T(v1)+T(v2)=T(v1+v2). Logo
T^-1(w1 + w2) = T^-1l(T(v1+v2)r) = v1+v2 = T^-1(w1)+T^-1(w2)

Passo 4

(Prova da homogeneidade)
Seja alpha um escalar e win W tal que w=T(v) com v=T^-1(w). Então
T^-1(alpha,w) = T^-1l(alpha,T(v)r)
Pela linearidade de T, alpha,T(v)=T(alpha v). Logo
T^-1(alpha,w) = T^-1l(T(alpha v)r) = alpha v = alpha,T^-1(w)

Resposta

Como T^-1 satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T^-1 é linear.

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