Se
é uma transformação linear invertível, mostre que
também é linear.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear invertível
entre espaços vetoriais sobre um mesmo corpo. Como
é invertível, existe
tais que
Para mostrar que
é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer
e qualquer escalar
:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Como
é bijetora, para cada
existe único
tal que
. Em particular, para
podemos escrever
com
e
.
Passo 3
(Prova da aditividade)
Começamos com a soma :
Começamos com a soma
Como
é linear,
. Logo
Passo 4
(Prova da homogeneidade)
Seja um escalar e
tal que
com
. Então
Seja
Pela linearidade de
,
. Logo
Resposta
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear.