Dada o operador linear definido por :
a) determine os autovalores de ;
b) para cada autovalor de , determine o subespaço próprio associado ao autovalor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por . O exercício pede para a gente encontrar os autovalores de e, para cada autovalor, determinar o subespaço próprio associado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes, polinômios característicos e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
Então, os autovalores de T são lambda = 1 , lambda = 3 e lambda = -1 .
Passo 8
Agora, vamos para a parte b), onde precisamos encontrar o subespaço próprio V(lambda) para cada autovalor lambda . Isso significa resolver (T - lambda I)u = 0 para cada lambda .
Passo 9
Para [\lambda = 1):
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (z = 0]. Substituindo nas outras:
Então, e . Podemos parametrizar com :
Então, .
Passo 10
Para [\lambda = 3):
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (-2x + 2z = 0 \Rightarrow z = x].
Substituindo na segunda equação:
E na terceira:
Então, e . Parametrizando com :
Então, .
Passo 11
Para [\lambda = -1):
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (2x + 2z = 0 \Rightarrow x = -z].
Substituindo na segunda equação:
E na terceira:
Consistente. Parametrizando com :
Então, .
Resposta
a) Os autovalores de T são lambda = 1 , lambda = 3 e lambda = -1 .