Dada o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x+2 z,-x+z, x+y+2 z) :
a) determine os autovalores de T;
b) para cada autovalor lambda de T, determine o subespaço próprio V(lambda)=u in R^3: T(u)=lambda u associado ao autovalor lambda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z) = (x + 2z, -x + z, x + y + 2z) . O exercício pede para a gente encontrar os autovalores de T e, para cada autovalor, determinar o subespaço próprio associado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes, polinômios característicos e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de T . Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação det(T - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz de T - lambda I . A matriz de T é:
T = 1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2
Subtraindo lambda I , temos:
T - lambda I = 1 - lambda & 0 & 2 -1 & -lambda & 1 1 & 1 & 2 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = (1 - lambda) cdot det -lambda & 1 1 & 2 - lambda - 0 + 2 cdot det -1 & -lambda 1 & 1
Calculando os determinantes menores:
det -lambda & 1 1 & 2 - lambda = (-lambda)(2 - lambda) - (1)(1) = -2lambda + lambda^2 - 1
det -1 & -lambda 1 & 1 = (-1)(1) - (-lambda)(1) = -1 + lambda

Passo 5

Substituindo de volta:
det(T - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 1) + 2(lambda - 1)
Expandindo:
= (1)(lambda^2 - 2lambda - 1) - lambda(lambda^2 - 2lambda - 1) + 2lambda - 2
= lambda^2 - 2lambda - 1 - lambda^3 + 2lambda^2 + lambda + 2lambda - 2
= -lambda^3 + 3lambda^2 + lambda - 3

Passo 6

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
-lambda^3 + 3lambda^2 + lambda - 3 = 0
Multiplicando por -1:
lambda^3 - 3lambda^2 - lambda + 3 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio. Testando lambda = 1 :
1 - 3 - 1 + 3 = 0 Rightarrow lambda = 1 é raiz é
Fatorando (lambda - 1) :
lambda^3 - 3lambda^2 - lambda + 3 = (lambda - 1)(lambda^2 - 2lambda - 3)
Resolvendo lambda^2 - 2lambda - 3 = 0 :
lambda = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42 Rightarrow lambda = 3 ou lambda = -1

Passo 7

Então, os autovalores de T são lambda = 1 , lambda = 3 e lambda = -1 .

Passo 8

Agora, vamos para a parte b), onde precisamos encontrar o subespaço próprio V(lambda) para cada autovalor lambda . Isso significa resolver (T - lambda I)u = 0 para cada lambda .

Passo 9

Para [\lambda = 1):
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (z = 0]. Substituindo nas outras:
Então, e . Podemos parametrizar com :
Então, .

Passo 10

Para [\lambda = 3):
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (-2x + 2z = 0 \Rightarrow z = x].
Substituindo na segunda equação:
E na terceira:
Então, e . Parametrizando com :
Então, .

Passo 11

Para [\lambda = -1):
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (2x + 2z = 0 \Rightarrow x = -z].
Substituindo na segunda equação:
E na terceira:
Consistente. Parametrizando com :
Então, .

Resposta

a) Os autovalores de T são lambda = 1 , lambda = 3 e lambda = -1 .
b) Os subespaços próprios associados são:
V(1) = span, (-1, 1, 0) ,
V(3) = span, (1, 0, 1) ,
V(-1) = span, (-1, -2, 1) ,

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