Para a transformação linear
definida por:
encontre a matriz da transformação
em relação às bases:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a matriz da transformação linear
em relação às bases
(base do espaço de polinômios) e
(base canônica de
, onde
).
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A transformação é definida por
.\n - A base
tem os vetores (polinômios) .\n - A base
é a base padrão de , então as coordenadas de um vetor em são exatamente suas entradas.\n
O objetivo concreto: calcular as imagens dos vetores da basepor e montar a matriz cujas colunas são essas imagens expressas na base .
Passo 2
Calcular
.
Explicação rápida: é o polinômio constante
. Avaliar em
e em
significa calcular
e
. Para
temos
e
.
Portanto,
Explicação rápida:
Portanto,
Observação didática: se um polinômio geral é
, então
e
. Aqui, para
temos
.
Passo 3
Calcular
.
Para o polinômio temos
e
. Logo,
Para o polinômio
Comentário: repare que
tem coeficientes
, então
e
.
Passo 4
Calcular
.
Para o polinômio temos
e
. Portanto,
Para o polinômio
Observação:
tem coeficientes
, então
e
.
Passo 5
Transformando essas imagens em colunas da matriz.
Regra útil (aulas práticas): a matriz de uma transformação linear em relação a bases (domínio) e
(contradomínio) é a matriz cujas colunas são as coordenadas das imagens dos vetores da base
expressas na base
. Aqui
é a base canônica, então as coordenadas são exatamente as entradas das colunas. Das contas acima temos os vetores-coluna:
Regra útil (aulas práticas): a matriz de uma transformação linear em relação a bases
Esses são, respectivamente, a primeira, segunda e terceira coluna da matriz
.