Para a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por:
T(p(x))=\binom{p(0)}{p(1)}
encontre a matriz da transformação [T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} em relação às bases:
\mathcal{B}=\left\{1, x, x^{2}\right\} \quad \text { e } \quad \mathcal{C}=\left\{e_{1}, e_{2}\right\}, \quad \text { onde } e_{1}=\binom{1}{0}, e_{2}=\binom{0}{1}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a matriz da transformação linear \;T: P_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^2\; em relação às bases \mathcal{B}=\{1,x,x^2\} (base do espaço de polinômios) e \mathcal{C}=\{e_{1},e_{2}\} (base canônica de \mathbb{R}^2, onde \;e_{1}=\binom{1}{0},\;e_{2}=\binom{0}{1}).
Informações dadas que vamos usar:
  • A transformação é definida por \;T(p(x))=\binom{p(0)}{p(1)}.\n
  • A base \mathcal{B} tem os vetores (polinômios) \;1,\;x,\;x^2.\n
  • A base \mathcal{C} é a base padrão de \mathbb{R}^2, então as coordenadas de um vetor em \mathbb{R}^2 são exatamente suas entradas.\n
    O objetivo concreto: calcular as imagens dos vetores da base \mathcal{B} por T e montar a matriz [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} cujas colunas são essas imagens expressas na base \mathcal{C}.

Passo 2

Calcular T(1).
Explicação rápida: 1 é o polinômio constante p(x)=1. Avaliar em 0 e em 1 significa calcular p(0) e p(1). Para p(x)=1 temos \;p(0)=1 e \;p(1)=1.
Portanto,
T(1)=\binom{1}{1}.
Observação didática: se um polinômio geral é \;p(x)=a+bx+cx^2, então \;p(0)=a e \;p(1)=a+b+c. Aqui, para 1 temos a=1,b=0,c=0.

Passo 3

Calcular T(x).
Para o polinômio p(x)=x temos \;p(0)=0 e \;p(1)=1. Logo,
T(x)=\binom{0}{1}.
Comentário: repare que x tem coeficientes a=0,b=1,c=0, então p(0)=a=0 e p(1)=a+b+c=0+1+0=1.

Passo 4

Calcular T(x^2).
Para o polinômio p(x)=x^2 temos \;p(0)=0 e \;p(1)=1. Portanto,
T(x^2)=\binom{0}{1}.
Observação: x^2 tem coeficientes a=0,b=0,c=1, então p(0)=0 e p(1)=0+0+1=1.

Passo 5

Transformando essas imagens em colunas da matriz.
Regra útil (aulas práticas): a matriz de uma transformação linear em relação a bases \mathcal{B} (domínio) e \mathcal{C} (contradomínio) é a matriz cujas colunas são as coordenadas das imagens dos vetores da base \mathcal{B} expressas na base \mathcal{C}. Aqui \mathcal{C} é a base canônica, então as coordenadas são exatamente as entradas das colunas. Das contas acima temos os vetores-coluna:
v_{1}=T(1)=\binom{1}{1},\qquad v_{2}=T(x)=\binom{0}{1},\qquad v_{3}=T(x^{2})=\binom{0}{1}.
Esses são, respectivamente, a primeira, segunda e terceira coluna da matriz [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}.

Resposta

[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}]

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