Para a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) definida por T(p(x))=p(x+2), encontre a matriz da transformação [T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} em relação às bases
\mathcal{B}=\left\{1, x+2,(x+2)^{2}\right\} \quad \text { e } \quad \mathcal{C}=\left\{1, x, x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a matriz da transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}) dada por T(p(x)) = p(x+2) em relação às bases
\mathcal{B}=\{1,\; x+2,\; (x+2)^2\}
e
\mathcal{C}=\{1,\; x,\; x^2\}.
Informações relevantes fornecidas:
  1. A transformação age por translação do argumento: para qualquer polinômio p, substituímos x por x+2.
  2. As bases são explícitas: a base do domínio é \mathcal{B} e a base do contradomínio é \mathcal{C}.
  3. A matriz [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} é a matriz que transforma coordenadas de vetores escritos na base \mathcal{B} (domínio) em coordenadas desses vetores imagem escritas na base \mathcal{C} (contradomínio).

Passo 2

Regra prática para montar [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}: aplicar T a cada vetor da base \mathcal{B}, escrever cada imagem como combinação linear dos vetores da base \mathcal{C}, e usar esses coeficientes como colunas da matriz, na mesma ordem dos vetores em \mathcal{B}. Ou seja, se b_1,b_2,b_3 são os elementos de \mathcal{B} e
T(b_j) = \alpha_{1j}\cdot 1 + \alpha_{2j}\cdot x + \alpha_{3j}\cdot x^2,
então a j-ésima coluna de [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} é \begin{pmatrix}\alpha_{1j}\\[4pt]\alpha_{2j}\\[4pt]\alpha_{3j}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Aplicar T aos vetores da base \mathcal{B}.
  1. Para b_1=1:
T(1)=1,
pois substituir x por x+2 numa constante não altera o valor.
  1. Para b_2=x+2:
T(x+2)=(x+2)+2 = x+4.
  1. Para b_3=(x+2)^2:
T\big((x+2)^2\big) = (x+2+2)^2 = (x+4)^2.
Expandindo (x+4)^2:
(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16.

Passo 4

Agora escrevemos cada imagem em coordenadas na base \mathcal{C}=\{1,x,x^2\}. A convenção aqui é que um polinômio a + b x + c x^2 tem coordenadas
\begin{pmatrix} a \\[4pt] b \\[4pt] c \end{pmatrix}
relativamente a \mathcal{C}.
Usando isso:
  1. T(1)=1 corresponde à coluna
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  1. T(x+2)=x+4 corresponde à coluna (constante 4, coeficiente de x é 1, coeficiente de x^2 é 0):
\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  1. T\big((x+2)^2\big)=x^2+8x+16 corresponde à coluna (constante 16, coeficiente de x é 8, coeficiente de x^2 é 1):
\begin{pmatrix}16\\[4pt]8\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montamos a matriz colocando as colunas na ordem dos vetores de \mathcal{B}, isto é, primeira coluna referente a 1, segunda a x+2, terceira a (x+2)^2. Assim:
[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 16\\[4pt] 0 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Uma observação prática para a prova: sempre verifique a ordem das bases (primeiro \mathcal{C}, depois \mathcal{B} no índice) e coloque as coordenadas das imagens nas colunas na mesma ordem dos vetores da base do domínio.]

Resposta

[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 16\\[4pt] 0 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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