Verifique se cada uma das aplicações abaixo é uma transformação linear:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada por T(x, y, z)=\left(\begin{array}{cc}2 x-y & x+y+z \\\ x+y-z & 2 y-3 z\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
T\colon \mathbb{R}^3\to M_2(\mathbb{R}),\quad T(x,y,z)=\begin{pmatrix} 2x-y & x+y+z\\\ x+y-z & 2y-3z \end{pmatrix}
é uma transformação linear. Para isso vamos usar as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
e
T(u+v) =\begin{pmatrix} 2(x_1+x_2)-(y_1+y_2) & (x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)\\\ (x_1+x_2)+(y_1+y_2)-(z_1+z_2) & 2(y_1+y_2)-3(z_1+z_2) \end{pmatrix}.
Separando termos, isso é
\begin{pmatrix} (2x_1-y_1)+(2x_2-y_2) & (x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)\\\ (x_1+y_1-z_1)+(x_2+y_2-z_2) & (2y_1-3z_1)+(2y_2-3z_2) \end{pmatrix} =\;T(u)+T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade T(c\,u)=c\,T(u).
Para c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z) temos
c\,u=(c x,\;c y,\;c z),
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T(c\,u) =\begin{pmatrix} 2(c x)-(c y) & (c x)+(c y)+(c z)\\\ (c x)+(c y)-(c z) & 2(c y)-3(c z) \end{pmatrix} =\;c\begin{pmatrix} 2x-y & x+y+z\\\ x+y-z & 2y-3z \end{pmatrix} =c\,T(u).

Resposta

A aplicação T satisfaz aditividade e homogeneidade, portanto é transformação linear.

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