Verifique se cada uma das aplicações abaixo é uma transformação linear:
S: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por S(x, y, z, w)=(y, z-w, 2 y+z+2 w)

Passo 1

O enunciado define a aplicação
S\colon \mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{3},\quad S(x,y,z,w) = \bigl(y,\;z - w,\;2y + z + 2w\bigr).
O conteúdo aqui é verificar se S satisfaz as duas propriedades de transformação linear: aditividade \;S(u+v)=S(u)+S(v); e homogeneidade \;S(c\,u)=c\,S(u).

Passo 2

Sejam \;u=(x_{1},y_{1},z_{1},w_{1}); e \;v=(x_{2},y_{2},z_{2},w_{2}).
Então
u+v = \bigl(x_{1}+x_{2},\;y_{1}+y_{2},\;z_{1}+z_{2},\;w_{1}+w_{2}\bigr)
e
S(u+v) = \bigl(y_{1}+y_{2},\;(z_{1}+z_{2})-(w_{1}+w_{2}),\;2(y_{1}+y_{2})+(z_{1}+z_{2})+2(w_{1}+w_{2})\bigr).
Agrupando termos, isso é
\bigl(y_{1},\,z_{1}-w_{1},\,2y_{1}+z_{1}+2w_{1}\bigr) + \bigl(y_{2},\,z_{2}-w_{2},\,2y_{2}+z_{2}+2w_{2}\bigr) = S(u)+S(v).
Logo, S é aditiva.

Passo 3

Seja c\in\mathbb{R} e u=(x_{1},y_{1},z_{1},w_{1}).
Então
c\,u = (c\,x_{1},\,c\,y_{1},\,c\,z_{1},\,c\,w_{1}),
e
S(c\,u) = \bigl(c\,y_{1},\;c\,z_{1}-c\,w_{1},\;2(c\,y_{1})+(c\,z_{1})+2(c\,w_{1})\bigr) = c\,(y_{1},\,z_{1}-w_{1},\,2y_{1}+z_{1}+2w_{1}) = c\,S(u).
Portanto, S é homogênea.

Resposta

Sim. A aplicação S satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é uma transformação linear.

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