Considere a matriz A dada por:
A=\left(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 2 & 2 & 2 \\\\ 3 & 3 & 3 & 3 \end{array}\right)
(a) Determine a dimensão do espaço solução W do sistema A x=0, onde W=\operatorname{Ker}\left(T_{A}\right).
(b) Construa um isomorfismo entre W e \mathbb{R}^{n}, para algun n adequado.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  1. (a) Determinar a dimensão do espaço solução W=\operatorname{Ker}(T_A)=\{x\in\mathbb{R}^4\mid A x=0\}.
  2. (b) Construir um isomorfismo entre W e \mathbb{R}^n para algum n adequado.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A é uma matriz 3\times4.
  • O sistema é A x=0, ou seja, procurar todos x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top\in\mathbb{R}^4 que satisfazem as três equações dadas pelas linhas de A.]

Passo 2

Escrevemos explicitamente o sistema linear A x=0\). Se \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top\), as equações são (uma por linha): \[\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=0,\\[4pt] 2x_1+2x_2+2x_3+2x_4=0,\\[4pt] 3x_1+3x_2+3x_3+3x_4=0. \end{cases}
Note que a segunda equação é 2\] vezes a primeira e a terceira é \(3 vezes a primeira. Logo apenas a primeira equação é essencial; as outras são redundantes.]

Passo 3

Da observação anterior, o sistema reduz-se a uma única equação:
x_1+x_2+x_3+x_4=0.
Isto significa que o núcleo W é o conjunto de vetores de \mathbb{R}^4 cujas coordenadas somam zero.
Para descrever W de forma parametrizada, escolhemos variáveis livres. Por exemplo, tomemos x_2,x_3,x_4 como parâmetros livres (podem ser quaisquer reais). Então
x_1 = -x_2-x_3-x_4.
Portanto um vetor genérico x\in W pode ser escrito como
x=\begin{pmatrix} -x_2-x_3-x_4\\[4pt] x_2\\[4pt] x_3\\[4pt] x_4 \end{pmatrix} = x_2\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} + x_4\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

A expressão do passo anterior mostra que todo vetor de W é combinação linear dos três vetores
b_1=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad b_2=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad b_3=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Agora vamos argumentar que esses três vetores são linearmente independentes, logo formam uma base de W.
Se c_1 b_1+c_2 b_2+c_3 b_3=0, então olhando coordenada por coordenada:
  • coordenada 2: c_1=0,
  • coordenada 3: c_2=0,
  • coordenada 4: c_3=0.
    Assim c_1=c_2=c_3=0. Portanto são independentes.
Como temos três vetores independentes que geram W, a dimensão de W é 3.
(Comentário alternativo rápido usando Teorema do posto-nulidade: \operatorname{rank}(A)=1 porque todas as linhas são múltiplos da primeira; então \dim\operatorname{Ker}(A)=4-1=3. Mas eu já mostrei isso de forma construtiva.)]

Passo 5

Agora vamos construir explicitamente um isomorfismo entre W e \mathbb{R}^3.
Definimos a transformação linear \varphi:\mathbb{R}^3\to W por, para (s,t,u)\in\mathbb{R}^3,
\varphi(s,t,u)=s\,b_1+t\,b_2+u\,b_3 = \begin{pmatrix} - s - t - u\\[4pt] s\\[4pt] t\\[4pt] u \end{pmatrix}.
Esta definição usa exatamente a parametrização do passo 3 (com s=x_2,\\ t=x_3,\\ u=x_4).]

Passo 6

Mostramos que \varphi é um isomorfismo (linear, injetora e sobrejetora).
  1. Linearidade: \varphi é combinação linear dos vetores base b_1,b_2,b_3, portanto
\varphi(\alpha(s,t,u)+\beta(s',t',u'))=\alpha\varphi(s,t,u)+\beta\varphi(s',t',u')
para quaisquer escalares \alpha,\beta. Logo \varphi é linear.
  1. Injetividade: Se \varphi(s,t,u)=0 então pelos componentes s=t=u=0 (observando coordenadas 2,3,4). Logo núcleo de \varphi é \{0\}, ou seja \varphi é injetora.
  2. Sobrejetividade: Qualquer x\in W pode ser escrito como no passo 3 com s=x_2,\\ t=x_3,\\ u=x_4; portanto existe (s,t,u) tal que \varphi(s,t,u)=x. Assim \varphi é sobrejetora.
Injetiva + sobrejetiva + linear => \varphi é um isomorfismo linear entre \mathbb{R}^3 e W.

Passo 7

Para dar também a inversa explícita (útil na prova), definimos \psi:W\to\mathbb{R}^3 por
\psi\!\left(\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\\[2pt]x_4\end{pmatrix}\right)=(x_2,x_3,x_4).
Como em W vale x_1=-x_2-x_3-x_4, a aplicação \psi é bem definida, linear e é inversa de \varphi (verifique \psi(\varphi(s,t,u))=(s,t,u) e \varphi(\psi(x))=x). Assim confirmamos que \varphi é um isomorfismo com inversa \psi.]

Resposta

(a) \dim W=3
(b) Um isomorfismo \varphi:\mathbb{R}^3\to W é
\varphi(s,t,u)=\begin{pmatrix}-s-t-u\\[4pt]s\\[4pt]t\\[4pt]u\end{pmatrix},
com inversa \psi:W\to\mathbb{R}^3 dada por \psi(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_2,x_3,x_4).]

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