(a) Determine a dimensão do espaço solução W do sistema A x=0, onde W=\operatorname{Ker}\left(T_{A}\right).
(b) Construa um isomorfismo entre W e \mathbb{R}^{n}, para algun n adequado.
(a) Determinar a dimensão do espaço solução W=\operatorname{Ker}(T_A)=\{x\in\mathbb{R}^4\mid A x=0\}.
(b) Construir um isomorfismo entre W e \mathbb{R}^n para algum n adequado.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A é uma matriz 3\times4.
O sistema é A x=0, ou seja, procurar todos x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top\in\mathbb{R}^4 que satisfazem as três equações dadas pelas linhas de A.]
Passo 2
Escrevemos explicitamente o sistema linear A x=0\). Se \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top\), as equações são (uma por linha):
\[\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=0,\\[4pt] 2x_1+2x_2+2x_3+2x_4=0,\\[4pt] 3x_1+3x_2+3x_3+3x_4=0. \end{cases}
Note que a segunda equação é 2\] vezes a primeira e a terceira é \(3 vezes a primeira. Logo apenas a primeira equação é essencial; as outras são redundantes.]
Passo 3
Da observação anterior, o sistema reduz-se a uma única equação:
x_1+x_2+x_3+x_4=0.
Isto significa que o núcleo W é o conjunto de vetores de \mathbb{R}^4 cujas coordenadas somam zero.
Para descrever W de forma parametrizada, escolhemos variáveis livres. Por exemplo, tomemos x_2,x_3,x_4 como parâmetros livres (podem ser quaisquer reais). Então
x_1 = -x_2-x_3-x_4.
Portanto um vetor genérico x\in W pode ser escrito como
Agora vamos argumentar que esses três vetores são linearmente independentes, logo formam uma base de W.
Se c_1 b_1+c_2 b_2+c_3 b_3=0, então olhando coordenada por coordenada:
coordenada 2: c_1=0,
coordenada 3: c_2=0,
coordenada 4: c_3=0.
Assim c_1=c_2=c_3=0. Portanto são independentes.
Como temos três vetores independentes que geram W, a dimensão de W é 3.
(Comentário alternativo rápido usando Teorema do posto-nulidade: \operatorname{rank}(A)=1 porque todas as linhas são múltiplos da primeira; então \dim\operatorname{Ker}(A)=4-1=3. Mas eu já mostrei isso de forma construtiva.)]
Passo 5
Agora vamos construir explicitamente um isomorfismo entre W e \mathbb{R}^3.
Definimos a transformação linear \varphi:\mathbb{R}^3\to W por, para (s,t,u)\in\mathbb{R}^3,
\varphi(s,t,u)=s\,b_1+t\,b_2+u\,b_3 = \begin{pmatrix} - s - t - u\\[4pt] s\\[4pt] t\\[4pt] u \end{pmatrix}.
Esta definição usa exatamente a parametrização do passo 3 (com s=x_2,\\ t=x_3,\\ u=x_4).]
Passo 6
Mostramos que \varphi é um isomorfismo (linear, injetora e sobrejetora).
Linearidade: \varphi é combinação linear dos vetores base b_1,b_2,b_3, portanto
para quaisquer escalares \alpha,\beta. Logo \varphi é linear.
Injetividade: Se \varphi(s,t,u)=0 então pelos componentes s=t=u=0 (observando coordenadas 2,3,4). Logo núcleo de \varphi é \{0\}, ou seja \varphi é injetora.
Sobrejetividade: Qualquer x\in W pode ser escrito como no passo 3 com s=x_2,\\ t=x_3,\\ u=x_4; portanto existe (s,t,u) tal que \varphi(s,t,u)=x. Assim \varphi é sobrejetora.
Injetiva + sobrejetiva + linear => \varphi é um isomorfismo linear entre \mathbb{R}^3 e W.
Passo 7
Para dar também a inversa explícita (útil na prova), definimos \psi:W\to\mathbb{R}^3 por
Como em W vale x_1=-x_2-x_3-x_4, a aplicação \psi é bem definida, linear e é inversa de \varphi (verifique \psi(\varphi(s,t,u))=(s,t,u) e \varphi(\psi(x))=x). Assim confirmamos que \varphi é um isomorfismo com inversa \psi.]
Resposta
(a) \dim W=3
(b) Um isomorfismo \varphi:\mathbb{R}^3\to W é