Quais das transformações abaixo são lineares?
T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(3 x, 2,5 z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear proposta T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z) = (3x,\,2,\,5z).
A pergunta é: essa transformação é linear ou não?
As informações relevantes: a regra de T multiplica x por 3, coloca a constante 2 na segunda coordenada e multiplica z por 5. Não há mais dados.

Passo 2

Vamos recordar o que significa “ser linear” — isso é crucial para responder. Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{3} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
Essas duas condições expressam, respectivamente, aditividade e homogeneidade. Outra forma equivalente (mais compacta) é: para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u,v,
T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v).
Um efeito imediato e muito útil dessa definição é que, se T é linear, então necessariamente
T(0)=0,
onde 0 é o vetor nulo de \mathbb{R}^{3}. Vou mostrar por que isso é verdade: pegue qualquer vetor v. Como 0 é 0\cdot v, pela homogeneidade
T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0.
Ou seja, uma transformação linear sempre envia o vetor nulo para o vetor nulo. Se acharmos T(0)\neq 0, podemos concluir imediatamente que T não é linear.

Passo 3

Vamos calcular T aplicado ao vetor nulo (0,0,0). Usando a regra dada:
T(0,0,0) = (3\cdot 0,\,2,\,5\cdot 0) = (0,\,2,\,0).
Observe que esse resultado não é o vetor nulo (0,0,0): a segunda coordenada ficou 2. Pelo argumento do passo anterior, isso basta para concluir que T não pode ser linear, porque uma transformação linear teria que satisfazer T(0,0,0)=(0,0,0).

Passo 4

Para reforçar a violação das propriedades lineares, mostro também que a homogeneidade falha com um exemplo numérico simples. Seja o vetor v=(0,0,1) e o escalar c=2. Então
c\,v = 2\cdot(0,0,1) = (0,0,2),
e aplicando T:
T(c\,v)=T(0,0,2) = (3\cdot 0,\,2,\,5\cdot 2) = (0,\,2,\,10).
Por outro lado,
c\,T(v) = 2\cdot T(0,0,1) = 2\cdot(3\cdot 0,\,2,\,5\cdot 1) = 2\cdot(0,\,2,\,5) = (0,\,4,\,10).
Comparando, T(c\,v)=(0,2,10) é diferente de c\,T(v)=(0,4,10) porque a segunda coordenada difere ( 2 vs 4). Portanto a propriedade T(c\,v)=c\,T(v) falha e isso confirma de novo que T não é linear.

Passo 5

Intuição rápida e regra prática para a prova: qualquer transformação que tenha uma constante fixa não dependente das entradas (como o 2 na segunda coordenada) tende a quebrar a linearidade, porque cria um termo que impede T(0)=0 e viola homogeneidade/aditividade. Assim, quando você vir uma componente com uma constante adicionada (ou colocada sozinha, como aqui), já suspeite que não é linear — confirme calculando T(0).

Resposta

A transformação T não é linear.

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