Quais das transformações abaixo são lineares?
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear proposta
definida por
A pergunta é: essa transformação é linear ou não?
As informações relevantes: a regra de multiplica
por
, coloca a constante
na segunda coordenada e multiplica
por
. Não há mais dados.
As informações relevantes: a regra de
Passo 2
Vamos recordar o que significa “ser linear” — isso é crucial para responder. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
e
Essas duas condições expressam, respectivamente, aditividade e homogeneidade. Outra forma equivalente (mais compacta) é: para quaisquer escalares
e vetores
,
Um efeito imediato e muito útil dessa definição é que, se
é linear, então necessariamente
onde
é o vetor nulo de
. Vou mostrar por que isso é verdade: pegue qualquer vetor
. Como
é
, pela homogeneidade
Ou seja, uma transformação linear sempre envia o vetor nulo para o vetor nulo. Se acharmos
, podemos concluir imediatamente que
não é linear.
Passo 3
Vamos calcular
aplicado ao vetor nulo
. Usando a regra dada:
Observe que esse resultado não é o vetor nulo
: a segunda coordenada ficou
. Pelo argumento do passo anterior, isso basta para concluir que
não pode ser linear, porque uma transformação linear teria que satisfazer
.
Passo 4
Para reforçar a violação das propriedades lineares, mostro também que a homogeneidade falha com um exemplo numérico simples. Seja o vetor
e o escalar
. Então
e aplicando
:
Por outro lado,
Comparando,
é diferente de
porque a segunda coordenada difere (
vs
). Portanto a propriedade
falha e isso confirma de novo que
não é linear.
Passo 5
Intuição rápida e regra prática para a prova: qualquer transformação que tenha uma constante fixa não dependente das entradas (como o
na segunda coordenada) tende a quebrar a linearidade, porque cria um termo que impede
e viola homogeneidade/aditividade. Assim, quando você vir uma componente com uma constante adicionada (ou colocada sozinha, como aqui), já suspeite que não é linear — confirme calculando
.
Resposta
A transformação
não é linear.