Quais das transformações abaixo são lineares? T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z, w)=(x-w, y-w, x+z).
Passo 1
O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^{4}\longrightarrow\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z,w) = (\,x-w,\; y-w,\; x+z\,).
A pergunta é única e clara: determinar se essa transformação é linear (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar).
Passo 2
Definição prática de linearidade (não assuma nada): uma transformação T é linear quando ela preserva soma de vetores e multiplicação por escalar. Formalmente, para todo u,v\in\mathbb{R}^4 e todo escalar c\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Se essas duas propriedades valem, T é linear. Uma maneira equivalente e muito prática: se T pode ser escrita como multiplicação por uma matriz A (isto é, T(x)=A\,x), então T é linear, pois multiplicação por matriz satisfaz as propriedades acima.
Passo 3
Vamos tentar escrever T como multiplicação por uma matriz A. Para isso, olhando cada componente de T(x,y,z,w) expressamos-os como combinações lineares das coordenadas x,y,z,w:
primeira componente: x-w = 1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + (-1)\cdot w,
segunda componente: y-w = 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z + (-1)\cdot w,
terceira componente: x+z = 1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z + 0\cdot w.
Assim, podemos montar a matriz A cujas linhas são os coeficientes dessas combinações.
Passo 4
A matriz A associada é uma matriz 3\times4. Escrevendo-a temos
Verificação rápida: para um vetor v=(x,y,z,w)^\top a multiplicação A\,v dá exatamente
A\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + (-1)\cdot w\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z + (-1)\cdot w\\[4pt] 1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z + 0\cdot w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x-w\\[2pt] y-w\\[2pt] x+z\end{pmatrix},
que é exatamente T(x,y,z,w).]
Passo 5
Explicando por que isso prova linearidade: multiplicação por matriz é linear porque, para qualquer matriz A e quaisquer vetores u,v e escalar c,
A(u+v) = Au + Av
e
A(cu) = c(Au).
Como encontramos uma matriz A tal que T(v)=A v para todo vetor v, segue que T satisfaz ambas as propriedades da definição. Portanto T é linear.
Passo 6
(Porra, se quiser ver a verificação direta com álgebra, aqui vai, passo a passo.) Tome u=(x_1,y_1,z_1,w_1) e v=(x_2,y_2,z_2,w_2). Então
que soma componente a componente dá exatamente o mesmo resultado que T(u+v). Para escalares c, T(cu) = (c x_1 - c w_1,\; c y_1 - c w_1,\; c x_1 + c z_1) = c(x_1-w_1,\; y_1-w_1,\; x_1+z_1) = c\,T(u). Logo as duas propriedades são verificadas diretamente também.
Passo 7
Resumo amigável: a transformação combina coordenadas por somas e multiplicações por constantes (sem termos independentes), conseguimos escrever T como T(v)=A v com a matriz A acima, logo T preserva soma e multiplicação por escalar e é linear. Força aí — essa é daquelas que dão prazer por serem diretas.