Verifique se
é perpendicular a
nos casos:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a reta
é perpendicular ao plano
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
As perguntas claras aqui são: a direção da reta
é perpendicular ao plano
? Em linguagem mais direta: a reta
é ortogonal ao plano
?
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo didático): uma reta é perpendicular a um plano quando o vetor direção da reta é ortogonal a todo vetor que esteja contido no plano.
- Se chamarmos
o vetor direção da reta e os vetores diretores do plano, a condição prática é:
onde
é o produto escalar.
- Alternativamente, formando o vetor normal do plano por
a reta será perpendicular ao plano se e somente se
for paralelo a
, isto é, existir
tal que
.
Vou usar primeiro o teste do produto escalar com os vetores diretores do plano (é direto e fácil de calcular).
Vou usar primeiro o teste do produto escalar com os vetores diretores do plano (é direto e fácil de calcular).
Explicando o produto escalar (rápido e claro): para dois vetores
e
,
Dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar for zero.
Passo 3
Identifico os vetores:
(calculados diretamente das formas paramétricas dadas).
Calculo os produtos escalares:
Passo 4
Interpretação dos resultados do passo anterior: para que
fosse perpendicular a
precisaríamos ter
e
. Mas obtivemos
e
, ambos não nulos. Portanto,
não é ortogonal aos vetores diretores do plano, logo a reta
não é perpendicular ao plano
.
Passo 5
Comentário extra (útil na prova): podemos também construir o normal do plano e verificar a relação com
. Calculando o produto vetorial
Se
fosse perpendicular a
deveríamos ter
paralelo a
. Aqui
claramente não é múltiplo escalar de
. Aliás, observe que
o que significa que
é ortogonal a
— isto quer dizer que
está contido numa direção do próprio plano (ou seja, a direção da reta é paralela ao plano). Como o ponto de
não coincide com um ponto do plano (pode-se checar que
não está no conjunto
), a reta é paralela ao plano mas não está contida nele. Em qualquer caso, definitivamente não é perpendicular.
Resposta
Não —
não é perpendicular a
.