Verifique se r é perpendicular a \pi nos casos:
r: X=(3,1,4)+\lambda(1,-1,1) \quad e \quad \pi: X=(1,1,1)+\alpha(0,1,0)+\beta(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a reta r é perpendicular ao plano \pi.
Dados fornecidos:
r:\; X = (3,1,4) + \lambda(1,-1,1)
\pi:\; X = (1,1,1) + \alpha(0,1,0) + \beta(1,1,1)
As perguntas claras aqui são: a direção da reta r é perpendicular ao plano \pi? Em linguagem mais direta: a reta r é ortogonal ao plano \pi?

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático): uma reta é perpendicular a um plano quando o vetor direção da reta é ortogonal a todo vetor que esteja contido no plano.
  • Se chamarmos v_r o vetor direção da reta e u_1,u_2 os vetores diretores do plano, a condição prática é:
v_r\cdot u_1 = 0 \quad\text{e}\quad v_r\cdot u_2 = 0,
onde \cdot é o produto escalar.
  • Alternativamente, formando o vetor normal do plano por
n = u_1 \times u_2,
a reta será perpendicular ao plano se e somente se v_r for paralelo a n, isto é, existir k tal que v_r = k\,n.
Vou usar primeiro o teste do produto escalar com os vetores diretores do plano (é direto e fácil de calcular).
Explicando o produto escalar (rápido e claro): para dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar for zero.

Passo 3

Identifico os vetores:
v_r = (1,-1,1)
u_1 = (0,1,0),\qquad u_2 = (1,1,1)
(calculados diretamente das formas paramétricas dadas).
Calculo os produtos escalares:
v_r\cdot u_1 = (1)\cdot 0 + (-1)\cdot 1 + (1)\cdot 0 = -1,
v_r\cdot u_2 = (1)\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + (1)\cdot 1 = 1.

Passo 4

Interpretação dos resultados do passo anterior: para que r fosse perpendicular a \pi precisaríamos ter v_r\cdot u_1=0 e v_r\cdot u_2=0. Mas obtivemos v_r\cdot u_1=-1 e v_r\cdot u_2=1, ambos não nulos. Portanto, v_r não é ortogonal aos vetores diretores do plano, logo a reta r não é perpendicular ao plano \pi.

Passo 5

Comentário extra (útil na prova): podemos também construir o normal do plano e verificar a relação com v_r. Calculando o produto vetorial
n = u_1 \times u_2 = (0,1,0)\times(1,1,1) = (1,0,-1).
Se r fosse perpendicular a \pi deveríamos ter v_r paralelo a n. Aqui v_r=(1,-1,1) claramente não é múltiplo escalar de n=(1,0,-1). Aliás, observe que
v_r\cdot n = 1\cdot 1 + (-1)\cdot 0 + 1\cdot(-1) = 0,
o que significa que v_r é ortogonal a n — isto quer dizer que v_r está contido numa direção do próprio plano (ou seja, a direção da reta é paralela ao plano). Como o ponto de r não coincide com um ponto do plano (pode-se checar que (3,1,4) não está no conjunto \{(1,1,1)+\alpha(0,1,0)+\beta(1,1,1)\}), a reta é paralela ao plano mas não está contida nele. Em qualquer caso, definitivamente não é perpendicular.

Resposta

Não — r não é perpendicular a \pi.

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