Transformações Nucleares
Existem vários tipos de transformações nucleares, mas as que nos interessam aqui são aquelas que ocorrem espontaneamente e constituem o principal fenômeno relacionado com a radioatividade natural. Este fenômeno, também denominado decaimento radioativo ocorre em núcleos pesados, cujas principais características são:
  1. a densidade da matéria nuclear é constante;
  2. as forças de interação próton-próton (p-p), nêutron-nêutron (n-n) e próton-nêutron (p-n) não são muito diferentes;
  3. existe uma forte tendência para os núcleos apresentarem igual número de prótons e nêutrons. Como essa tendência é oposta à repulsão Coulombiana p-p, a conseqüência é que nos núcleos pesados sempre há um excesso de nêutrons, para garantir a coesão nuclear;
  4. núcleos contendo números pares de prótons e de nêutrons são mais abundantes e mais estáveis do que núcleos contendo números ímpares de prótons ou nêutrons.
  5. A instabilidade nuclear aumenta na mesma proporção do crescimento do número de núcleons, e pode originar decaimento radioativo e fissão nuclear. O decaimento radioativo é seguido pela emissão de três tipos de radiação:
    a) partículas alfa, que são núcleos de hélio, 2 He^4;
    b) partículas beta, que são elétrons
    c) raios gama, radiação eletromagnética tipo raios-X.
    Os núcleos que apresentam este fenômeno foram denominados, por Marie Curie, radioativos. Curiosamente, não se tem notícia de decaimento com a emissão de prótons ou nêutrons. O decaimento radioativo obedece a uma lei exponencial, do tipo
N=N0 e^-1 / tau,
onde, N0 é o número de átomos radioativos no instante t=0, e tau é uma constante denominada vida média. Define-se a meia-vida do processo, t1 / 2, o tempo necessário para que a quantidade de material radioativo reduza-se à metade. É fácil mostrar que
t1 / 2=tau ln 2
O inverso da vida média, gamma=1 / tau, é conhecida como constante de decaimento. Assim, outra forma de expressar a lei do decaimento radioativo é
N=N0 e^-gamma t
A atividade de uma substância radioativa é medida em termos do número de desintegrações (ou decaimentos) por segundo, cuja unidade é o Curie. No sistema SI, 1 desintegração/s é definida como 1 Bq (Becquerel). Portanto, 1 Ci=3.7 times 10^10 desintegrações / s=3.7 times 10^10 Bq.
O curie é a quantidade de radiação emitida por 1 g de rádio, o elemento químico descoberto por Marie Curie.
O isótopo 31 Ga^69 tem meia-vida de 78 horas. Calcule a atividade 48 horas depois.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformações Nucleares. A gente vai trabalhar com o decay radioativo, que é quando um núcleo instável perde energia emitindo radiação. No caso, a gente tem o isótopo 31Ga^69 com uma meia-vida de 78 horas. A meia-vida é o tempo que leva para metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegrarem. Nosso objetivo aqui é calcular qual será a atividade desse isótopo após 48 horas. Para isso, vamos usar a fórmula do decaimento radioativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a lei do decaimento radioativo. Ela nos diz que a quantidade de núcleos restantes após um tempo $ t $ é dada por:
t
Aqui:
  • N(t) = N0 (12)^tt1/2 é a quantidade inicial de núcleos.
  • $ t $ é o tempo que passou.
  • $ t_{1/2} $ é a meia-vida.

Passo 3

A atividade ($ \mathrm{A} $) de uma substância radioativa é a taxa de desintegrações por segundo. Ela é proporcional ao número de núcleos presentes no momento:
A
Onde:
  • $ \mathrm{A}_0 $ é a atividade inicial.
  • $ \mathrm{A}(t) $ é a atividade após o tempo $ t $.

Passo 4

Vamos aplicar os valores do problema:
  • Meia-vida ($ t_{1/2} $) = 78 horas
  • Tempo decorrido ($ t $) = 48 horas
Substituindo na fórmula da atividade:
t1/2

Passo 5

Para simplificar, vamos calcular o expoente:
4878 approx 0,6154
Então:
A(48) = A0 (12)^0,6154

Passo 6

Agora, vamos calcular (12)^0,6154:
(12)^0,6154 approx 0,659
Portanto:
A(48) approx A0 times 0,659

Resposta

A atividade do isótopo 31Ga^69 após 48 horas é aproximadamente 65,9% da atividade inicial, ou seja:
A(48) approx 0,659, A0

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