(Transformada de Laplace) Dada
, a transformada de Laplace de
é definida como
para
. A transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil para resolver certas equações diferenciais.
(a) Dizemos que
é de crescimento exponencial se existem
tais que
para todo
. Mostre que se
é de crescimento exponencial então
é bem-definida (i.e., a integral converge) para todo
.
(b) Mostre que se
é de crescimento exponencial e diferenciável então
. Encontre uma fórmula semelhante para
© Seja
a função que vale 1 se
e zero se
. Calcule
(d) Verifique as seguintes igualdades:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(a) Dizemos que
(b) Mostre que se
© Seja
(d) Verifique as seguintes igualdades:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Passo 1
O enunciado pede para explorar a transformada de Laplace de uma função real definida em
(0,+∞). Precisamos usar o conceito de crescimento exponencial para garantir convergência, depois aplicar integração por partes para obter a fórmula para L{f’} e L{f’’}, calcular L{H_α} para a função degrau e, por fim, verificar várias transformadas-padrão de funções como constantes, potências, exponenciais, senos, cossenos e exponenciais complexas.
(0,+∞). Precisamos usar o conceito de crescimento exponencial para garantir convergência, depois aplicar integração por partes para obter a fórmula para L{f’} e L{f’’}, calcular L{H_α} para a função degrau e, por fim, verificar várias transformadas-padrão de funções como constantes, potências, exponenciais, senos, cossenos e exponenciais complexas.
Passo 2
Para (a), como f satisfaz |f(t)| ≤ M e^{αt} para t grande, dividimos a integral
A primeira parte é finita (integral em [0,a] de função contínua). Na segunda:
desde que x>α. Logo a transformada converge para todo x>α.
Passo 3
Para (b), aplicamos integração por partes na integral
e^{−xt}f’(t) (escolhendo u=e^{-xt}, dv=f’(t)dt ou vice-versa). Por exemplo, tomando v=f(t) e du=−x e^{-xt}dt, temos
e^{−xt}f’(t) (escolhendo u=e^{-xt}, dv=f’(t)dt ou vice-versa). Por exemplo, tomando v=f(t) e du=−x e^{-xt}dt, temos
O termo de fronteira em ∞ some quando x>α e em t=0 dá -f(0). Assim
Repetindo para f’’, ou usando L{f’’}=xL{f’}-f’(0), obtemos
Passo 4
Para ©, H_α(t)=0 se t<α e 1 se t≥α, então
Passo 5
Para (d1–d4), usamos integrais-padrão:
- L{1}=\int_0^∞ e^{-xt}dt=1/x.
- L{e{αt}}=\int_0∞ e^{-(x-α)t}dt=1/(x-α), x>α.
- L{tn}=\int_0∞ t^n e^{-xt}dt = n! / x^{n+1}.
- Para expoentes reais α>−1, L{t^{α}}= Γ(α+1) x^{-α-1}.
Passo 6
Para (d5–d8), usamos transformadas trigonométricas e hiperbólicas:
5) L{\sin(αt)}=α/(x2+α2).
6) L{\sinh(αt)}=α/(x2−α2), x>|α|.
7) L{\cos(αt)}=x/(x2+α2).
8) L{\cosh(αt)}=x/(x2−α2), x>|α|.
5) L{\sin(αt)}=α/(x2+α2).
6) L{\sinh(αt)}=α/(x2−α2), x>|α|.
7) L{\cos(αt)}=x/(x2+α2).
8) L{\cosh(αt)}=x/(x2−α2), x>|α|.
Passo 7
Para (d9), aplicamos a propriedade de deslocamento na variável x:
Resposta
(a) L{f}(x) converge para todo x>α.
(b) L{f’}(x)=xL{f}(x)-f(0), L{f’’}(x)=x^2L{f}(x)-x f(0)-f’(0).
© L{H_{α}}(x)=e^{-αx}/x.
(d1) L{1}=1/x.
(d2) L{e^{αt}}=1/(x-α), x>α.
(d3) L{tn}=n!/x{n+1}.
(d4) L{t{α}}=Γ(α+1)x{-α-1}.
(d5) L{\sin(αt)}=α/(x2+α2).
(d6) L{\sinh(αt)}=α/(x2-α2), x>|α|.
(d7) L{\cos(αt)}=x/(x2+α2).
(d8) L{\cosh(αt)}=x/(x2-α2), x>|α|.
(d9) L{t^n e{αt}}=n!/(x-α){n+1}.
(b) L{f’}(x)=xL{f}(x)-f(0), L{f’’}(x)=x^2L{f}(x)-x f(0)-f’(0).
© L{H_{α}}(x)=e^{-αx}/x.
(d1) L{1}=1/x.
(d2) L{e^{αt}}=1/(x-α), x>α.
(d3) L{tn}=n!/x{n+1}.
(d4) L{t{α}}=Γ(α+1)x{-α-1}.
(d5) L{\sin(αt)}=α/(x2+α2).
(d6) L{\sinh(αt)}=α/(x2-α2), x>|α|.
(d7) L{\cos(αt)}=x/(x2+α2).
(d8) L{\cosh(αt)}=x/(x2-α2), x>|α|.
(d9) L{t^n e{αt}}=n!/(x-α){n+1}.