(Transformada de Laplace) Dada f:(0,+infty) R, a transformada de Laplace de f é definida como
€ f(x)=integral0^infty e^-t x f(t) d t
para x>0. A transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil para resolver certas equações diferenciais.
(a) Dizemos que f é de crescimento exponencial se existem alpha, a, M>0 tais que |f(t)| <= M e^alpha t para todo t>a. Mostre que se f é de crescimento exponencial então Ł fŁ é bem-definida (i.e., a integral converge) para todo x>0.
(b) Mostre que se f é de crescimento exponencial e diferenciável então HalphaŁ. Encontre uma fórmula semelhante para t >= alpha
© Seja 0 a função que vale 1 se £ Halpha(x) e zero se £(1)=1 / x. Calcule £(sen(alpha t))=alphax^2+alpha^2
(d) Verifique as seguintes igualdades:
(1) £(sinh (alpha t))=alphax^2-alpha^2, x>|alpha|
(2) Ł(cos (alpha t))=xx^2+alpha^2
(3) Ł(cosh (alpha t))=xx^2-alpha^2, x>|alpha|
(4)
(5)
(6)
(7) Ł
(8) Ł
(9) Ł

Passo 1

O enunciado pede para explorar a transformada de Laplace de uma função real definida em
(0,+∞). Precisamos usar o conceito de crescimento exponencial para garantir convergência, depois aplicar integração por partes para obter a fórmula para L{f’} e L{f’’}, calcular L{H_α} para a função degrau e, por fim, verificar várias transformadas-padrão de funções como constantes, potências, exponenciais, senos, cossenos e exponenciais complexas.

Passo 2

Para (a), como f satisfaz |f(t)| ≤ M e^{αt} para t grande, dividimos a integral
integral0^infty e^-xtf(t),dt = integral0^a e^-xtf(t),dt + integrala^infty e^-xtf(t),dt
A primeira parte é finita (integral em [0,a] de função contínua). Na segunda:
|integrala^infty e^-xtf(t),dt| <= Mintegrala^infty e^-(x-α)t,dt = Mx-αe^-(x-α)a < infty
desde que x>α. Logo a transformada converge para todo x>α.

Passo 3

Para (b), aplicamos integração por partes na integral
e^{−xt}f’(t) (escolhendo u=e^{-xt}, dv=f’(t)dt ou vice-versa). Por exemplo, tomando v=f(t) e du=−x e^{-xt}dt, temos
integral0^infty e^-xtf'(t),dt = e^-xtf(t)|0^infty + xintegral0^infty e^-xtf(t),dt
O termo de fronteira em ∞ some quando x>α e em t=0 dá -f(0). Assim
Lf'(x) = xLf(x) - f(0)
Repetindo para f’’, ou usando L{f’’}=xL{f’}-f’(0), obtemos
Lf''(x) = x^2Lf(x) - x f(0) - f'(0)

Passo 4

Para ©, H_α(t)=0 se t<α e 1 se t≥α, então
LHalpha(x)=integral0^infty e^-xtHalpha(t),dt = integralalpha^infty e^-xt,dt = e^-αxx

Passo 5

Para (d1–d4), usamos integrais-padrão:
  1. L{1}=\int_0^∞ e^{-xt}dt=1/x.
  2. L{e{αt}}=\int_0∞ e^{-(x-α)t}dt=1/(x-α), x>α.
  3. L{tn}=\int_0∞ t^n e^{-xt}dt = n! / x^{n+1}.
  4. Para expoentes reais α>−1, L{t^{α}}= Γ(α+1) x^{-α-1}.

Passo 6

Para (d5–d8), usamos transformadas trigonométricas e hiperbólicas:
5) L{\sin(αt)}=α/(x2+α2).
6) L{\sinh(αt)}=α/(x2−α2), x>|α|.
7) L{\cos(αt)}=x/(x2+α2).
8) L{\cosh(αt)}=x/(x2−α2), x>|α|.

Passo 7

Para (d9), aplicamos a propriedade de deslocamento na variável x:
Lt^n e^αt(x)=integral0^∞ t^n e^-(x-α)tdt = n!(x-α)^n+1

Resposta

(a) L{f}(x) converge para todo x>α.
(b) L{f’}(x)=xL{f}(x)-f(0), L{f’’}(x)=x^2L{f}(x)-x f(0)-f’(0).
© L{H_{α}}(x)=e^{-αx}/x.
(d1) L{1}=1/x.
(d2) L{e^{αt}}=1/(x-α), x>α.
(d3) L{tn}=n!/x{n+1}.
(d4) L{t{α}}=Γ(α+1)x{-α-1}.
(d5) L{\sin(αt)}=α/(x2+α2).
(d6) L{\sinh(αt)}=α/(x2-α2), x>|α|.
(d7) L{\cos(αt)}=x/(x2+α2).
(d8) L{\cosh(αt)}=x/(x2-α2), x>|α|.
(d9) L{t^n e{αt}}=n!/(x-α){n+1}.

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