[19] Descreva as curvas de nível da cada função:
$f(x, y)=\ln (x y)$

Passo 1

O enunciado nos pede para descrever as curvas de nível da função f(x,y)=ln(xy). O conteúdo aqui é o conceito de curvas de nível de uma função de duas variáveis, e vamos precisar considerar o domínio de definição da função (onde ln está definido) e resolver ln(xy)=c para uma constante c.

Passo 2

Para existir f(x,y)=ln(xy), devemos ter xy>0, pois o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos. Logo, x e y precisam ter o mesmo sinal, restringindo o domínio aos quadrantes I (x>0,y>0) e III (x<0,y<0).

Passo 3

As curvas de nível são dadas por ln(xy)=c, onde c é uma constante real. Aplicando exponencial em ambos os lados, obtemos xy=e^c. Definindo k=e^c>0, a equação das curvas de nível fica xy=k.

Passo 4

A equação xy=k representa hipérbolas equiláteras centradas na origem, simétricas em relação aos eixos coordenados, que se situam apenas nos quadrantes I e III. Podemos escrever cada curva também como y=k/x, mostrando que y decresce conforme x aumenta em cada quadrante.

Resposta

As curvas de nível de f são as hipérbolas xy=e^c (ou y=e^c/x) nos quadrantes I e III, para cada constante c real.

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