1. Transformada de Laplace: Resolva o Problema de Valor Inicial utilizando Transforma de Laplace
\begin{gathered} \frac{d y}{d t}+2 y=t \\\ y(t=0)=-1 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dt}+2y=t
com a condição inicial
y(0)=-1.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Ideia da Transformada de Laplace (aula rapidinha e prática). Definimos a transformada de Laplace de uma função f(t) por
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde t é a variável de tempo (ou a variável independente no problema) e s é uma variável complexa (aqui tratamos s como um parâmetro real positivo para inverter depois). Propriedades úteis que vamos usar:
  1. Linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s),
para constantes a,b.
  1. Transformada da derivada (ferramenta-chave para IVP): se y(t) tem transformada Y(s) e y(0) é conhecido, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).
Breve justificativa (sem detalhes técnicos): essa fórmula vem de integrar por partes a integral \int_{0}^{\infty} e^{-st}y'(t)\,dt.
  1. Transformadas básicas que vamos usar:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}},\qquad \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a}.
Essas fórmulas são padrão; por exemplo \mathcal{L}\{t\}=\int_0^\infty e^{-st}t\,dt=1/s^2.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace na equação inteira. Tomando transformada em ambos os lados de
\frac{dy}{dt}+2y=t,
obtemos, usando linearidade e a fórmula da derivada,
\mathcal{L}\{y'(t)\}+2\mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{t\}.
Substituindo \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2} e usando y(0)=-1, fica
sY(s)-(-1)+2Y(s)=\frac{1}{s^{2}}.
Simplificando o sinal,
sY(s)+1+2Y(s)=\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Isolamos Y(s)\). Agrupando termos em \(Y(s)\), \[Y(s)(s+2)=\frac{1}{s^{2}}-1.
Logo
Y(s)=\frac{\tfrac{1}{s^{2}}-1}{s+2}=\frac{1-s^{2}}{s^{2}(s+2)}.
Agora precisamos inverter a transformada. Para isso fazemos decomposição em frações parciais na forma
\frac{1-s^{2}}{s^{2}(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+2) obtemos
1-s^{2}=A s(s+2)+B(s+2)+C s^{2}.
Expandindo o lado direito:
1-s^{2}= (A+C)s^{2}+(2A+B)s+2B.
Comparando coeficientes dos polinômios (coeficiente de s^{2}, de s e termo constante):
\begin{cases} A+C=-1,\\[4pt] 2A+B=0,\\[4pt] 2B=1. \end{cases}
Da terceira equação 2B=1\] segue \(B=\tfrac{1}{2}.
Da segunda 2A+\tfrac{1}{2}=0 segue A=-\tfrac{1}{4}.
Da primeira C=-1-A=-1-(-\tfrac{1}{4})=-\tfrac{3}{4}.
Portanto
Y(s)=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^{2}}-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{s+2}.]

Passo 5

Invertendo a transformada termo a termo usando as transformadas básicas:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}.
Aplicando isso a cada termo de Y(s), obtemos
y(t)=-\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot t-\frac{3}{4}\cdot e^{-2t}.
Ou seja
y(t)=\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}e^{-2t}.

Passo 6

Cheque rápido (sempre faça isso na prova): em t=0,
y(0)=0-\tfrac{1}{4}-\tfrac{3}{4}= -1,
que coincide com a condição inicial. Você também pode derivar y(t) e substituir na equação original para verificar; isso fecha o raciocínio.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}e^{-2t}

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