1. Séries de Fourier: Calcule os valores dos coeficientes \mathrm{A}_{0}, \mathrm{~A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \mathrm{~A}_{3}, \mathrm{~A}_{4}, \mathrm{~B}_{1}, \mathrm{~B}_{2}, \mathrm{~B}_{3} e \mathrm{B}_{4}
f(x)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{A_{n} \cos \left(\frac{n \pi}{L} x\right)+B_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right)\right\}
Para o caso em que
f(x)= \begin{cases}1, & 0 \leq x<L / 2 \\\\ 0, & L / 2 \leq x<L\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para calcular os coeficientes da série de Fourier
f(x)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{A_{n}\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right)+B_{n}\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\right\}
para a função periódica no intervalo 0\le x<L\) dada por \[f(x)=\begin{cases} 1, & 0\le x< L/2,\\[4pt] 0, & L/2 \le x< L. \end{cases}
As incógnitas que precisamos encontrar são (,A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}.]]

Passo 2

Primeiro vamos escrever as fórmulas padrão para os coeficientes (essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \cos e \sin no intervalo [0,L]; não precisa decorar sem entender — eu explico a ideia: multiplicamos pela base ortogonal e integramos, o que elimina os outros termos).
As fórmulas são:
A_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx,
A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx\quad\text{para }n\ge 1,
B_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx\quad\text{para }n\ge 1.
Aqui cada variável significa: L é o meio-período usado na base trigonométrica, n é o índice do termo da série; A_{0} aparece dividido por 2 na série por convenção (por isso a fórmula acima está com A_0/2 na série).

Passo 3

Calculemos \,A_{0}.
Usamos a definição e a função que vale 1 em [0,L/2) e 0 em [L/2,L), então
A_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L/2} 1\,dx+\frac{2}{L}\int_{L/2}^{L}0\,dx.
A segunda integral é zero; a primeira é simplesmente o comprimento do intervalo [0,L/2], que é L/2. Logo
A_{0}=\frac{2}{L}\cdot\frac{L}{2}=1.

Passo 4

Agora calculemos A_{n} de forma geral (para depois avaliar n=1,2,3,4). Pela fórmula:
A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx =\frac{2}{L}\int_{0}^{L/2} \cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx,
porque f(x)=1 em [0,L/2) e 0 no resto. A integral de \cos é um seno dividido pelo coeficiente:
\int \cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx=\frac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Aplicando os limites 0 a L/2:
A_{n}=\frac{2}{L}\cdot\frac{L}{n\pi}\left[\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}\cdot\frac{L}{2}\right)-\sin(0)\right] =\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
Portanto a forma fechada é
A_{n}=\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
Agora calculamos A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} substituindo n:
  • Para n=1: \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, então
A_{1}=\frac{2}{1\pi}=\frac{2}{\pi}.
  • Para n=2: \sin(\pi)=0, então
A_{2}=0.
  • Para n=3: \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, então
A_{3}=\frac{2}{3\pi}\cdot(-1)=-\frac{2}{3\pi}.
  • Para n=4: \sin(2\pi)=0, então
A_{4}=0.

Passo 5

Agora B_{n}. Pela fórmula:
B_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx =\frac{2}{L}\int_{0}^{L/2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx.
A integral de \sin é o negativo do cosseno dividido pelo coeficiente:
\int \sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx=-\frac{L}{n\pi}\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Aplicando limites de 0 a L/2:
B_{n}=\frac{2}{L}\left(-\frac{L}{n\pi}\right)\left[\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-\cos(0)\right] =-\frac{2}{n\pi}\left[\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-1\right].
Reorganizando:
B_{n}=\frac{2}{n\pi}\bigl(1-\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\bigr).
Agora avaliamos para n=1,2,3,4.
  • Para n=1: \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, então
B_{1}=\frac{2}{1\pi}(1-0)=\frac{2}{\pi}.
  • Para n=2: \cos(\pi)=-1, então
B_{2}=\frac{2}{2\pi}(1-(-1))=\frac{1}{\pi}\cdot 2=\frac{2}{\pi}.
  • Para n=3: \cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0, então
B_{3}=\frac{2}{3\pi}(1-0)=\frac{2}{3\pi}.
  • Para n=4: \cos(2\pi)=1, então
B_{4}=\frac{2}{4\pi}(1-1)=0.

Resposta

A_{0}=1
A_{1}=\dfrac{2}{\pi}
A_{2}=0
A_{3}=-\dfrac{2}{3\pi}
A_{4}=0
B_{1}=\dfrac{2}{\pi}
B_{2}=\dfrac{2}{\pi}
B_{3}=\dfrac{2}{3\pi}
B_{4}=0

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