A transformada de Laplace da soluçăo
de um determinado problema de valor inicial (PVI) é
Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede para determinar a função temporal
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Foi fornecida a função
explicitamente. - O objetivo é aplicar a transformada inversa de Laplace para obter
.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador para simplificar a decomposição em frações parciais.
O polinômio quadrático no denominador é
O polinômio quadrático no denominador é
porque as raízes são
e
(produtos
e soma
, então sinais trocados dão
).
Passo 3
Vamos decompor
em frações parciais da forma
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade em
Expandindo o lado direito:
Como isso vale para todo
, igualamos coeficientes de
e termo constante:
Passo 4
Agora resolvemos o sistema para
e
. Subtraindo a primeira equação da segunda:
logo
Substituindo em
:
Passo 5
Recordando pares básicos da transformada de Laplace:
. Assim,
corresponde a
e
corresponde a
. Como a transformada é linear, a transformada inversa de
é
Substituindo os valores de
e
encontrados, obtemos a forma temporal de
.
Passo 6
Verificação rápida (consistência): recompondo as frações parciais temos
Com
e
o numerador é
, que coincide com o numerador original, confirmando que a decomposição está correta.