A transformada de Laplace da soluçăo y(t) de um determinado problema de valor inicial (PVI) é
Y(s)=\frac{10-s}{s^{2}+4 s+3}
Determine y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}.

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
Y(s)=\frac{10-s}{s^{2}+4s+3}
e pede para determinar a função temporal y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}.
Informações relevantes:
  • Foi fornecida a função Y(s) explicitamente.
  • O objetivo é aplicar a transformada inversa de Laplace para obter y(t).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador para simplificar a decomposição em frações parciais.
O polinômio quadrático no denominador é
s^{2}+4s+3=(s+1)(s+3),
porque as raízes são s=-1 e s=-3 (produtos 1\cdot3=3 e soma 1+3=4, então sinais trocados dão +4s).

Passo 3

Vamos decompor Y(s) em frações parciais da forma
\frac{10-s}{(s+1)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+3) obtemos a identidade em s
10-s = A(s+3)+B(s+1).
Expandindo o lado direito:
10-s = (A+B)s + (3A+B).
Como isso vale para todo s, igualamos coeficientes de s e termo constante:
\begin{cases} A+B = -1,\\[4pt] 3A+B = 10. \end{cases}]

Passo 4

Agora resolvemos o sistema para A e B. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(3A+B)-(A+B)=10-(-1)\quad\Rightarrow\quad 2A=11,
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A=\frac{11}{2}.
Substituindo em A+B=-1:
B=-1-A=-1-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}.

Passo 5

Recordando pares básicos da transformada de Laplace: \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}. Assim, \dfrac{1}{s+1} corresponde a e^{-t} e \dfrac{1}{s+3} corresponde a e^{-3t}. Como a transformada é linear, a transformada inversa de
\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}
é
A e^{-t} + B e^{-3t}.
Substituindo os valores de A e B encontrados, obtemos a forma temporal de y(t).

Passo 6

Verificação rápida (consistência): recompondo as frações parciais temos
\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}=\frac{(A+B)s+(3A+B)}{(s+1)(s+3)}.
Com A+B=-1 e 3A+B=10 o numerador é -s+10=10-s, que coincide com o numerador original, confirmando que a decomposição está correta.

Resposta

y(t)=\dfrac{11}{2}e^{-t}-\dfrac{13}{2}e^{-3t}

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