Transformada de Laplace e Transformada de Laplace Inversa. Resolva as operações.
\mathcal{L}\left\{e^{-3 t}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=e^{-3t} definida para t\ge0 e pede para calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{e^{-3t}\}.
Informações fornecidas:
  • Função a transformar: e^{-3t}.
  • Domínio temporal implícito: t\ge0.
    O que se pede: calcular \mathcal{L}\{e^{-3t}\} e indicar a condição de convergência (quando aplicável).

Passo 2

Lembrete da definição da transformada de Laplace e interpretação das variáveis.
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde:
  • t é a variável temporal (real, t\ge0);
  • s é a variável complexa da transformada (pode ser considerado real em cálculos elementares);
  • a integral é imprópria e só faz sentido quando ela converge (isso define a região de convergência em s).

Passo 3

Substituir f(t)=e^{-3t} na definição. Temos
\mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{-3t}\,dt.
Combinar os expoentes:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt.

Passo 4

Calcular a integral imprópria como limite. Para R>0,
\int_{0}^{R} e^{-(s+3)t}\,dt = \left[\frac{-e^{-(s+3)t}}{s+3}\right]_{0}^{R} = \frac{1-e^{-(s+3)R}}{s+3},
desde que s+3\neq0. Agora tomamos o limite R\to\infty.

Passo 5

Analisar a convergência do termo exponencial e obter o resultado final.
O termo e^{-(s+3)R} tende a zero quando \operatorname{Re}(s+3)>0, ou seja, quando
\operatorname{Re}(s)>-3.
Nessa condição a integral converge e
\mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s)=\frac{1}{s+3}.
Se s for real, a condição fica s>-3.

Passo 6

Comentário didático extra (útil para a prova): a transformada inversa confirma a correspondência padrão
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+3}\right\}(t)=e^{-3t}.
Exemplo numérico rápido para fixar: se s=0 (que satisfaz s>-3), então \mathcal{L}\{e^{-3t}\}(0)=\dfrac{1}{0+3}=\dfrac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{s+3},\\ \operatorname{Re}(s)>-3

Exercícios relacionados