Transformada de Laplace e Transformada de Laplace Inversa. Resolva as operações.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
e pede para calcular a transformada de Laplace
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Função a transformar:
. - Domínio temporal implícito:
.
O que se pede: calculare indicar a condição de convergência (quando aplicável).
Passo 2
Lembrete da definição da transformada de Laplace e interpretação das variáveis.
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde:
-
é a variável temporal (real, ); -
é a variável complexa da transformada (pode ser considerado real em cálculos elementares); - a integral é imprópria e só faz sentido quando ela converge (isso define a região de convergência em
).
Passo 3
Substituir
na definição. Temos
Combinar os expoentes:
Passo 4
Calcular a integral imprópria como limite. Para
,
desde que
. Agora tomamos o limite
.
Passo 5
Analisar a convergência do termo exponencial e obter o resultado final.
O termo tende a zero quando
, ou seja, quando
O termo
Nessa condição a integral converge e
Se
for real, a condição fica
.
Passo 6
Comentário didático extra (útil para a prova): a transformada inversa confirma a correspondência padrão
Exemplo numérico rápido para fixar: se
(que satisfaz
), então
.