El transformador del problema 4.11 opera a plena carga y factor de potencia de 0.85 en adelanto. Determine su regulación del voltaje usando cantidades por unidad.

Passo 1

Qué pregunta pide el enunciado y qué datos hay disponibles (tal como fueron dados por ti).
  • Lo que pide el enunciado: determinar la regulación de voltaje del transformador usando cantidades por unidad.
  • Lo que el enunciado nos dice explícitamente: que el transformador opera a plena carga y con factor de potencia \,0,85 en adelanto (leading).
  • Datos que NO se han dado (y que son necesarios para obtener un resultado numérico):
    • la potencia nominal S_{rated} del transformador (por ejemplo 100\\ \text{kVA}, 1\\ \text{MVA}, etc.);
    • las tensiones nominales de primario y secundario V_{1n},V_{2n} (para fijar bases de tensión si se desea);
    • la impedancia del transformador referida a la misma base: ello puede aparecer como impedancia en pu Z_{pu} o como impedancia porcentaje \%\!Z, o bien como R y X (en ohm o en pu).
  • Observación importante: sin conocer la impedancia (o su valor en pu/%), no es posible calcular numéricamente la regulación. Por eso, con lo que has enviado no puedo dar un número final.
  • Con lo anterior claro, a partir del Paso 2 comienzo a explicar, paso a paso y con detalle, cómo se calcula la regulación en pu para que sepas exactamente qué hacer en la prueba o, si me das los datos concretos, yo lo calculo por ti.

Passo 2

¿Qué es la regulación de voltaje? definición y significado.
  • Definición habitual: la regulación de voltaje se define como la variación (relativa) entre la tensión en circuito abierto (no-load) y la tensión en carga plena (full-load), expresada en porcentaje. En fórmula:
\text{Regulación} = \dfrac{|V_{NL}| - |V_{FL}|}{|V_{FL}|}\times 100\%.ó
  • Significado: si la regulación es positiva, la tensión en circuito abierto es mayor que la tensión en carga; si es negativa, la tensión en circuito abierto es menor (esto puede ocurrir con factor de potencia adelantado).
  • En el método por unidades conviene tomar V_{FL}=1\\ \text{pu} (usar la tensión nominal en la barra de interés como base), con lo que la regulación en pu se obtiene simplemente por la diferencia de magnitudes entre V_{NL} y 1.

Passo 3

Sistema por unidades: cómo elegir bases y cómo se representa la impedancia.
  • Bases típicas: se suele elegir la base de potencia \,S_{base}=S_{rated} y la base de tensión \,V_{base} en la barra donde se calcula la regulación (por ejemplo el secundario). Entonces la base de impedancia es
Z_{base}=\dfrac{V_{base}^2}{S_{base}}.
  • Si te dan \%\!Z (por ejemplo \%Z=5\%), eso equivale a Z_{pu}=0,05. Si te dan Z_{pu} en magnitud pero no te dan R/X, necesitas o bien R_{pu} y X_{pu} por separado, o la relación X/R para obtener sus componentes reales e imaginarias.
  • Para full-load, si la base de corriente usa la misma S_{base} y V_{base}, la corriente de plena carga en pu es I_{pu}=1. Eso simplifica mucho los cálculos: la caída de tensión en pu será simplemente I_{pu}(R_{pu}+jX_{pu})=R_{pu}+jX_{pu} (si I_{pu}=1\angle\theta_I entonces hay un factor de ángulo, ver Paso 4).

Passo 4

Relación fasorial fundamental y elección de referencia de ángulo (muy didáctico).
  • Tomar la tensión en carga plena como referencia de ángulo: V_{FL}=1\angle 0^\circ (esto es una convención útil).
  • El fasor de la corriente de carga, para un factor de potencia \text{pf} y siendo este en adelanto (leading), forma un ángulo \varphi respecto a la tensión donde
\varphi=\operatorname{arccos}(\text{pf}).
  • Aquí conviene fijar la convención: tomo \varphi como el ángulo entre tensión y corriente tal que si la corriente está adelantada respecto a la tensión (leading), su ángulo es +\varphi con respecto a la referencia de tensión. Esto significa I_{pu}=1\angle \varphi (con \varphi>0 para leading según esta convención).
  • La caída de tensión fasorial en el transformador (referida a la barra considerada) es
\Delta V = I_{pu}\,(R_{pu}+jX_{pu}).
  • La tensión en circuito abierto (sin carga, I=0) que correspondería a la misma tensión interna más la caída es
V_{NL} = V_{FL} + \Delta V.
En pu, con V_{FL}=1\angle 0:
V_{NL} = 1 + I_{pu}(R_{pu}+jX_{pu}).
  • Por tanto la regulación en pu exacta se obtiene como
\text{Reg}_{pu} = |V_{NL}| - 1 = \left|1 + I_{pu}(R_{pu}+jX_{pu})\right| - 1.
y en porcentaje:
\text{Reg}\,(\%) = \big(\left|1 + I_{pu}(R_{pu}+jX_{pu})\right| - 1\big)\times 100\%.

Passo 5

Fórmula aproximada (útil en la prueba para cálculos rápidos y sin calculadora) y explicación paso a paso para usarla.
  • Para pequeñas caídas (cuando |I(R+jX)| \ll 1) se puede linealizar la magnitud:
\left|1 + a\right| \approx 1 + \Re\{a\}\quad\text{si }|a|\ll1.
  • Aplicando eso con a=I_{pu}(R_{pu}+jX_{pu}) y escribiendo I_{pu}=1\angle\varphi=\cos\varphi + j\sin\varphi (plena carga en pu), se obtiene la aproximación:
\text{Reg}_{pu} \approx \Re\{I_{pu}(R_{pu}+jX_{pu})\} = R_{pu}\cos\varphi - X_{pu}\sin\varphi.
  • Interpretación física rápida:
    • El término R_{pu}\cos\varphi tiende a aumentar la regulación (subir V_{NL} respecto a V_{FL}).
    • El término -X_{pu}\sin\varphi puede disminuirla; si la corriente es “leading” ( \varphi>0 con la convención usada), \sin\varphi>0 y el término -X_{pu}\sin\varphi es negativo; con X_{pu} relativamente grande esto puede hacer que la regulación sea negativa (es decir V_{NL}<V_{FL}). Éste es el motivo por el que cargas con factor de potencia adelantado pueden producir regulación negativa.
  • Pasos operativos para calcular la regulación en la prueba:
    1. Obtener R_{pu} y X_{pu}. Si sólo se da |Z_{pu}| y relación X/R, descomponer en componente real e imaginaria: R_{pu}=\dfrac{|Z_{pu}|}{\sqrt{1+(X/R)^2}},\qquad X_{pu}=R_{pu}\cdot\frac{X}{R}.Si sólo te dan \%\!Z y el ángulo de impedancia, conviertes a pu y descompone con cos y sen.
    2. Calcular \varphi=\operatorname{arccos}(0,85) (en tu caso \text{pf}=0,85). Ese \varphi es el ángulo de la corriente según la convención de este desarrollo.
    3. Tomar I_{pu}=1\angle\varphi (plena carga).
    4. Calcular \Delta V = I_{pu}(R_{pu}+jX_{pu}).
    5. Obtener la regulación exacta con \text{Reg}_{pu} = \left|1 + \Delta V\right| - 1,o usar la aproximación \text{Reg}_{pu} \approx R_{pu}\cos\varphi - X_{pu}\sin\varphi,y finalmente convertir a porcentaje multiplicando por 100\%.

Passo 6

Ejemplo numérico ilustrativo (esto es solo un ejemplo con datos asumidos para ver pasos concretos; NO es la respuesta al problema 4.11 porque esos datos no fueron proporcionados).
  • Supongamos que el fabricante da \%\!Z=5\% y relación X/R=10 (estos son valores de ejemplo).
    • Entonces Z_{pu}=0,05. Descomponiendo: R_{pu}=\dfrac{0,05}{\sqrt{1+10^2}}=\dfrac{0,05}{\sqrt{101}}\approx 0,00497,
X_{pu}=10\cdot R_{pu}\approx 0,0497.
  • Para \text{pf}=0,85: \varphi=\operatorname{arccos}(0,85)\approx 31{,}79^\circ. Tomando corriente leading con nuestra convención, I_{pu}=1\angle 31{,}79^\circ.
  • Usando la aproximación: \text{Reg}_{pu}\approx R_{pu}\cos\varphi - X_{pu}\sin\varphi
\approx 0,00497\cdot(0,85) - 0,0497\cdot(0,527) \approx 0,00422 - 0,0262 \approx -0,02198.
  • En porcentaje: \text{Reg}\approx -2,20\%.
  • Interpretación: con esos valores de ejemplo, la regulación sería negativa, es decir, la tensión en circuito abierto sería algo menor que la tensión en plena carga — fenómeno posible con cargas de pf adelantado y transformadores con reactancia predominante.
  • Recalco: este ejemplo sirve solo para mostrar cómo aplicar las fórmulas; tus datos reales de \%\!Z, R/X o R_{pu},X_{pu} producirán el valor correcto para el problema 4.11.

Passo 7

Resumen final de lo que debes proporcionar (si quieres que calcule numéricamente el ejercicio 4.11) y ánimo.
  • Para obtener el número final necesito (sin inventar nada):
    • la impedancia del transformador expresada en pu o en \% (o R y X en pu o en ohm con bases); y
    • (opcionalmente) confirmar en qué barra se quiere la regulación (normalmente en el secundario), aunque por convención se toma la barra de salida.
  • Si me pasas esos datos concretos (por ejemplo \%\!Z y relación X/R, o R_{pu} y X_{pu}), hago el cálculo paso a paso y te doy el valor numérico final con interpretación.
  • ¡Ánimo! Ya tienes el camino claro para resolverlo en la prueba: convierte impedancias a pu, toma I_{pu}=1\angle\varphi con \varphi=\operatorname{arccos}(0,85) (adelantado), aplica \Delta V=I(R+jX) y calcula \text{Reg} con la fórmula exacta o la aproximación si te lo piden rápidamente.

Resposta

No es posible determinar numéricamente la regulación: falta la impedancia del transformador (por ejemplo \%\!Z o R_{pu} y X_{pu}) y las bases (potencia/tensión). Con esos datos la regulación en pu se calcula mediante \text{Reg}_{pu}=\left|1+I_{pu}(R_{pu}+jX_{pu})\right|-1 con I_{pu}=1\angle\operatorname{arccos}(0,85).

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