Um transformador monofásico de 150 MVA e 15 / 200 \mathrm{kV} tem uma resistência por unidade de 1,2 \% e uma reatância por unidade de 5 \% (dados tomados da placa do transformador). A impedância de magnetização é j 80 por unidade.
(d) Assuma que a tensão do primário desse transformador é constante de 15 kV . Plote a tensão do secundário como uma função da corrente de carga para correntes desde a vazio até plena carga. Repita esse processo para fatores de potência de 0,8 atrasado, 1,0 e 0,8 adiantadb.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (vou listar tudo que é relevante, sem resolver ainda):
  • Transformador monofásico com potência nominal S_{base}=150\\ \mathrm{MVA} e tensões nominais 15/200\\ \mathrm{kV}.
  • Impedância série (da placa): resistência R_{pu}=1{,}2\%=0{,}012 e reatância X_{pu}=5\%=0{,}05. Portanto a impedância série é \,Z_{s} = 0{,}012 + j\,0{,}05\, (em por unidade no mesmo base de potência).
  • Impedância de magnetização (shunt) \,j80 por unidade.
  • Condição para esta parte (d): assumir que a tensão do primário é constante em 15\\ \mathrm{kV} (ou seja, tensão primária em per unit é 1{,}0 no seu próprio base).
  • Pedido: plotar (ou fornecer como construir o gráfico de) a tensão do secundário em função da corrente de carga, variando a corrente desde vazio até plena carga, para três fatores de potência:
    • \text{pf}=0{,}8 atrasado (indutivo),
    • \text{pf}=1{,}0,
    • \text{pf}=0{,}8 adiantado (capacitivo).
Observações que já podemos anotar e que usarei depois:
  • Como estamos trabalhando com o transformador na sua própria base de potência, a corrente de plena carga em pu é I_{pu}=1{,}0. Então “varrer corrente desde vazio até plena carga” significa varrer I_{pu} de 0 a 1.
  • Vou trabalhar em per unit (pu) porque simplifica bastante os cálculos de transformador (as impedâncias numéricas já estão em pu).
  • A impedância de magnetização é relativamente grande ( 80 pu), então a corrente de magnetização em vazio é pequena ( \approx 1/80=0{,}0125 pu). Vou explicar e mostrar que sua influência é desprezível para o gráfico principal; primeiro farei a aproximação prática (ignorar a magnetização) e depois estimarei o erro se incluirmos.

Passo 2

Escolha do método e convenção de fase (sem pular etapas):
  • Método escolhido: usar análise fasorial em per unit com a equação de queda de tensão na impedância série do transformador.
  • Convenção de referência de fase: tomo a tensão do primário (que é fixa) como referência com ângulo 0^\circ. Em per unit essa tensão é \,V_1=1{,}0\angle 0^\circ.
  • Propriedade importante do sistema pu com mesma base de potência: as correntes pu medidas no primário e no secundário têm o mesmo valor numérico quando usamos S_{base} igual em ambos os lados. Assim podemos escrever a equação de quedas em pu: V_2 = V_1 - Z_s\,Ionde:
    • V_1 é a tensão do primário em pu (neste problema V_1=1{,}0\angle 0^\circ),
    • V_2 é a tensão do secundário em pu (referida ao seu próprio base),
    • Z_s é a impedância série em pu ( 0{,}012 + j\,0{,}05),
    • I é a corrente de carga em pu, como fasor (mesmo valor numérico no primário ou secundário em pu).
  • Explicação didática do porquê isso funciona (sem jargões): per unit normaliza as quantidades de modo que o “fator de transformação” desaparece das equações numéricas: com o mesmo S_{base}, a corrente em pu é a mesma em ambos os lados e a impedância série em pu é a mesma número, portanto a simples fórmula acima vale e é extremamente prática para gerar o gráfico pedido.

Passo 3

Como representar a corrente de carga para diferentes fatores de potência:
  • Se o fator de potência é \mathrm{pf}\), então o ângulo de fase entre tensão e corrente é \(\varphi = \operatorname{arccos}(\mathrm{pf})\). - Para carga com fator de potência atrasado (indutiva) a corrente atrasa a tensão; tomo a corrente com ângulo \(-\varphi\). Para pf adiantado, a corrente tem ângulo \(+\varphi\). - Assim o fasor corrente (em pu) é \[I = I_{\text{mag}}\angle \theta_I,onde I_{\text{mag}} é a magnitude da corrente em pu (a variável que vou varrer de 0 a 1) e \theta_I = \begin{cases} -\varphi = -\operatorname{arccos}(\mathrm{pf}), & \text{pf atrasado} \\\\ 0, & \text{pf}=1 \\\\ +\varphi = +\operatorname{arccos}(\mathrm{pf}), & \text{pf adiantado} \end{cases}
  • No caso \mathrm{pf}=0{,}8\] temos \(\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}8)\approx 36{,}8699^\circ. Então:
    • pf 0{,}8 atrasado: I = I_{\text{mag}}\angle -36{,}8699^\circ.
    • pf 0{,}8 adiantado: I = I_{\text{mag}}\angle +36{,}8699^\circ.
    • pf 1{,}0: I é puramente real e positivo: I=I_{\text{mag}}\angle 0^\circ.

Passo 4

Equação explícita para V_2 (phasor) e para sua magnitude — fórmula que você usará para plotar:
  • Com Z_s = 0{,}012 + j\,0{,}05 e V_1=1\angle 0^\circ, V_2 = 1 - Z_s\,I.
  • Escrevendo I = I_{\text{mag}}(\cos\theta_I + j\sin\theta_I) e multiplicando, obtém-se uma expressão complexa para V_2. Para plotar a magnitude use |V_2(I_{\text{mag}})| = \sqrt{ \big(\Re\{V_2\}\big)^2 + \big(\Im\{V_2\}\big)^2 }.
  • Vou dar as fórmulas simplificadas que aparecem ao multiplicar Z_s pelo fasor corrente (útil para programar/plotar diretamente):
    • Para \mathrm{pf}=1 (isto é \theta_I=0): V_2 = \big(1 - 0{,}012\,I_{\text{mag}}\big) + j\big(-0{,}05\,I_{\text{mag}}\big),
|V_2| = \sqrt{\big(1 - 0{,}012\,I_{\text{mag}}\big)^2 + \big(0{,}05\,I_{\text{mag}}\big)^2 }.
  • Para \mathrm{pf}=0{,}8 atrasado (use \cos\varphi=0{,}8, \sin\varphi=0{,}6 e \theta_I=-\varphi):
    ao multiplicar Z_s (0{,}8 - j0{,}6)I_{\text{mag}} obtemos Z_s I = I_{\text{mag}}\big(0{,}0396 + j\,0{,}0328\big),logo V_2 = \big(1 - 0{,}0396\,I_{\text{mag}}\big) + j\big(-0{,}0328\,I_{\text{mag}}\big),
|V_2| = \sqrt{\big(1 - 0{,}0396\,I_{\text{mag}}\big)^2 + \big(0{,}0328\,I_{\text{mag}}\big)^2 }.
  • Para \mathrm{pf}=0{,}8 adiantado (use \theta_I=+\varphi, I=I_{\text{mag}}(0{,}8 + j0{,}6)):
    ao multiplicar obtemos Z_s I = I_{\text{mag}}\big(-0{,}0204 + j\,0{,}0472\big),logo V_2 = \big(1 + 0{,}0204\,I_{\text{mag}}\big) + j\big(-0{,}0472\,I_{\text{mag}}\big),
|V_2| = \sqrt{\big(1 + 0{,}0204\,I_{\text{mag}}\big)^2 + \big(0{,}0472\,I_{\text{mag}}\big)^2 }.
  • Observação: estas expressões surgem da multiplicação direta de Z_s = 0{,}012+j0{,}05 por I_{\text{mag}}(\cos\theta_I + j\sin\theta_I). Dei os coeficientes numéricos já simplificados para facilitar a programação/plotagem.

Passo 5

Como gerar o gráfico na prática (passo a passo que podes reproduzir em uma calculadora, planilha ou Python/Matlab):
  1. Escolha uma malha de pontos para I_{\text{mag}} entre 0 e 1 (por exemplo 0; 0{,}01; 0{,}02; …; 1{,}0).
  2. Para cada I_{\text{mag}} calcule V_2 usando as fórmulas do Passo 4 (a fórmula muda conforme o pf).
  3. Calcule a magnitude |V_2|.
  4. Se quiser o valor em volts reais no secundário, multiplique |V_2| (pu) por V_{2,\text{nom}}=200\\ \mathrm{kV}.
  5. Plote em abscissa I_{\text{mag}} (pu) e em ordenada |V_2| (pu ou kV). Faça uma curva para cada pf no mesmo gráfico.
Dica prática rápida: numa planilha coloque I na coluna A, e nas colunas seguintes coloque as expressões em TeX que dei (ou traduza para a função da sua planilha). Em Python/Matlab as fórmulas ficam diretas e fáceis de vetorizar.

Passo 6

Cálculos exemplo em pontos representativos (para você ver números concretos — eu detalho as contas para cada ponto):
Vou calcular |V_2| nos pontos I_{\text{mag}}=\{0,0{,}25,0{,}5,0{,}75,1{,}0\} para cada pf. Em todas as contas uso as fórmulas numéricas do Passo 4.
  • Caso \mathrm{pf}=1{,}0 (fórmula: V_2 = (1-0{,}012I)+j(-0{,}05I)):
    • I=0: |V_2|=1{,}00000 pu.
    • I=0{,}25: \Re=0{,}997, \Im=-0{,}0125 |V_2|\approx0{,}99708 pu.
    • I=0{,}5: |V_2|\approx0{,}99431 pu.
    • I=0{,}75: |V_2|\approx0{,}99171 pu.
    • I=1{,}0: |V_2|\approx0{,}98928 pu.
    • Em kV (multiplicando por 200\\ \mathrm{kV}): no plena carga |V_2|\approx197{,}856\\ \mathrm{kV}.
  • Caso \mathrm{pf}=0{,}8 atrasado (fórmula: V_2=(1-0{,}0396I)+j(-0{,}0328I)):
    • I=0: |V_2|=1{,}00000 pu.
    • I=0{,}25: |V_2|\approx0{,}99014 pu.
    • I=0{,}5: |V_2|\approx0{,}98038 pu.
    • I=0{,}75: |V_2|\approx0{,}97066 pu.
    • I=1{,}0: |V_2|\approx0{,}96198 pu.
    • Em kV: no plena carga |V_2|\approx192{,}396\\ \mathrm{kV}.
  • Caso \mathrm{pf}=0{,}8 adiantado (fórmula: V_2=(1+0{,}0204I)+j(-0{,}0472I)):
    • I=0: |V_2|=1{,}00000 pu.
    • I=0{,}25: |V_2|\approx1{,}00517 pu.
    • I=0{,}5: |V_2|\approx1{,}01049 pu.
    • I=0{,}75: |V_2|\approx1{,}01593 pu.
    • I=1{,}0: |V_2|\approx1{,}02153 pu.
    • Em kV: no plena carga |V_2|\approx204{,}306\\ \mathrm{kV}.
Eu calculei estes números passo a passo: multipliquei Z_s pelo fasor corrente (com cosseno/seno já substuídos por 0{,}8 e 0{,}6) e depois subtraí de 1 e calculei a magnitude.

Passo 7

Observação sobre a impedância de magnetização j80 e seu efeito (para não ficar dúvida):
  • A corrente de magnetização em vazio é |I_m| \approx 1/80 = 0{,}0125 pu, com defasagem quase 90^\circ. Isso é muito pequeno diante de I_{FL}=1{,}0 pu.
  • Se incluirmos explicitamente I_m, o que muda conceitualmente é que a corrente que atravessa a impedância série passa a ser I_{\text{serie}} = I_{\text{load}} + I_m (soma fasorial) e usamos esta corrente em Z_s\,I_{\text{serie}} na queda. Fiz um cálculo rápido para o caso mais sensível ( \mathrm{pf}=0{,}8 atrasado e I=1) e a magnitude resultante passando a ser \approx 0{,}96034 pu em vez de 0{,}96198 pu — diferença de cerca de 0{,}0016 pu (ou 0{,}32\\ \mathrm{kV}). Conclusão prática: a magnetização tem efeito desprezível para o gráfico pedido; a aproximação feita anteriormente (ignorar I_m) é apropriada e muito usada em problemas de “regulação de tensão” e plots de V vs I.

Passo 8

Instrução final para plotar e interpretação física das curvas:
  • Três curvas a plotar no mesmo eixo (I_{\text{mag}} horizontal, |V_2| vertical):
    • pf atrasado 0{,}8: curva decrescente de |V_2| com I (tensão cai mais rápido do que pf=1).
    • pf 1{,}0: queda de tensão moderada (apenas componente resistiva causa queda em parte real e reativa causa queda em imaginária).
    • pf adiantado 0{,}8: |V_2| aumenta com I (efeito de subida de tensão por componente reativa que gera uma fás já conhecida em transformadores).
  • Em termos práticos, no eixo y use pu ou converta para kV multiplicando por 200\\ \mathrm{kV}.
  • Valores de referência no plena carga I=1:
    • pf 0{,}8 atrasado: |V_2|\approx0{,}96198 pu \approx192{,}4\\ \mathrm{kV}.
    • pf 1{,}0: |V_2|\approx0{,}98928 pu \approx197{,}9\\ \mathrm{kV}.
    • pf 0{,}8 adiantado: |V_2|\approx1{,}02153 pu \approx204{,}3\\ \mathrm{kV}.

Passo 9

Resumo prático (como apresentar o resultado num relatório ou gabarito da prova):
  • Apresente a expressão analítica de cada curva (as fórmulas do Passo 4) e um pequeno conjunto de pontos (por exemplo os cinco pontos que calculei no Passo 6). Com isso qualquer avaliador vê que você sabe tanto a fórmula como a aplicação numérica.
  • Se for no exame, se pedirem o gráfico à mão, desenhe as três curvas usando os pontos (0,1) e os valores em I=\{0{,}25,0{,}5,0{,}75,1\}. Se for com computador, plote uma malha mais fina (por exemplo 0 a 1 passo 0{,}01).

Resposta

Para cada fator de potência, a tensão do secundário em pu como função da corrente I_{\text{mag}} (pu) é:
pf =1{,}0: |V_2|=\sqrt{\big(1 - 0{,}012\,I_{\text{mag}}\big)^2 + \big(0{,}05\,I_{\text{mag}}\big)^2 }.
pf =0{,}8 atrasado: |V_2|=\sqrt{\big(1 - 0{,}0396\,I_{\text{mag}}\big)^2 + \big(0{,}0328\,I_{\text{mag}}\big)^2 }.
pf =0{,}8 adiantado: |V_2|=\sqrt{\big(1 + 0{,}0204\,I_{\text{mag}}\big)^2 + \big(0{,}0472\,I_{\text{mag}}\big)^2 }.
Valores representativos em pu e em kV ( V_{2,\text{nom}}=200\\ \mathrm{kV}) no plena carga I_{\text{mag}}=1:
pf 0{,}8 atrasado: |V_2|\approx0{,}96198\\ \text{pu}\approx192{,}4\\ \mathrm{kV}
pf 1{,}0: |V_2|\approx0{,}98928\\ \text{pu}\approx197{,}9\\ \mathrm{kV}
pf 0{,}8 adiantado: |V_2|\approx1{,}02153\\ \text{pu}\approx204{,}3\\ \mathrm{kV}

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