Um transformador monofásico de 150 MVA e 15 / 200 \mathrm{kV} tem uma resistência por unidade de 1,2 \% e uma reatância por unidade de 5 \% (dados tomados da placa do transformador). A impedância de magnetização é j 80 por unidade.
(d) Assuma que a tensão do primário desse transformador é constante de 15 kV . Plote a tensão do secundário como uma função da corrente de carga para correntes desde a vazio até plena carga. Repita esse processo para fatores de potência de 0,8 atrasado, 1,0 e 0,8 adiantadb.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (vou listar tudo que é relevante, sem resolver ainda):
Transformador monofásico com potência nominal S_{base}=150\\ \mathrm{MVA} e tensões nominais 15/200\\ \mathrm{kV}.
Impedância série (da placa): resistência R_{pu}=1{,}2\%=0{,}012 e reatância X_{pu}=5\%=0{,}05. Portanto a impedância série é \,Z_{s} = 0{,}012 + j\,0{,}05\, (em por unidade no mesmo base de potência).
Impedância de magnetização (shunt) \,j80 por unidade.
Condição para esta parte (d): assumir que a tensão do primário é constante em 15\\ \mathrm{kV} (ou seja, tensão primária em per unit é 1{,}0 no seu próprio base).
Pedido: plotar (ou fornecer como construir o gráfico de) a tensão do secundário em função da corrente de carga, variando a corrente desde vazio até plena carga, para três fatores de potência:
\text{pf}=0{,}8 atrasado (indutivo),
\text{pf}=1{,}0,
\text{pf}=0{,}8 adiantado (capacitivo).
Observações que já podemos anotar e que usarei depois:
Como estamos trabalhando com o transformador na sua própria base de potência, a corrente de plena carga em pu é I_{pu}=1{,}0. Então “varrer corrente desde vazio até plena carga” significa varrer I_{pu} de 0 a 1.
Vou trabalhar em per unit (pu) porque simplifica bastante os cálculos de transformador (as impedâncias numéricas já estão em pu).
A impedância de magnetização é relativamente grande (80 pu), então a corrente de magnetização em vazio é pequena (\approx 1/80=0{,}0125 pu). Vou explicar e mostrar que sua influência é desprezível para o gráfico principal; primeiro farei a aproximação prática (ignorar a magnetização) e depois estimarei o erro se incluirmos.
Passo 2
Escolha do método e convenção de fase (sem pular etapas):
Método escolhido: usar análise fasorial em per unit com a equação de queda de tensão na impedância série do transformador.
Convenção de referência de fase: tomo a tensão do primário (que é fixa) como referência com ângulo 0^\circ. Em per unit essa tensão é \,V_1=1{,}0\angle 0^\circ.
Propriedade importante do sistema pu com mesma base de potência: as correntes pu medidas no primário e no secundário têm o mesmo valor numérico quando usamos S_{base} igual em ambos os lados. Assim podemos escrever a equação de quedas em pu:V_2 = V_1 - Z_s\,Ionde:
V_1 é a tensão do primário em pu (neste problema V_1=1{,}0\angle 0^\circ),
V_2 é a tensão do secundário em pu (referida ao seu próprio base),
Z_s é a impedância série em pu (0{,}012 + j\,0{,}05),
I é a corrente de carga em pu, como fasor (mesmo valor numérico no primário ou secundário em pu).
Explicação didática do porquê isso funciona (sem jargões): per unit normaliza as quantidades de modo que o “fator de transformação” desaparece das equações numéricas: com o mesmo S_{base}, a corrente em pu é a mesma em ambos os lados e a impedância série em pu é a mesma número, portanto a simples fórmula acima vale e é extremamente prática para gerar o gráfico pedido.
Passo 3
Como representar a corrente de carga para diferentes fatores de potência:
Se o fator de potência é \mathrm{pf}\), então o ângulo de fase entre tensão e corrente é \(\varphi = \operatorname{arccos}(\mathrm{pf})\).
- Para carga com fator de potência atrasado (indutiva) a corrente atrasa a tensão; tomo a corrente com ângulo \(-\varphi\). Para pf adiantado, a corrente tem ângulo \(+\varphi\).
- Assim o fasor corrente (em pu) é
\[I = I_{\text{mag}}\angle \theta_I,onde I_{\text{mag}} é a magnitude da corrente em pu (a variável que vou varrer de 0 a 1) e\theta_I = \begin{cases} -\varphi = -\operatorname{arccos}(\mathrm{pf}), & \text{pf atrasado} \\\\ 0, & \text{pf}=1 \\\\ +\varphi = +\operatorname{arccos}(\mathrm{pf}), & \text{pf adiantado} \end{cases}
No caso \mathrm{pf}=0{,}8\] temos \(\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}8)\approx 36{,}8699^\circ. Então:
pf 0{,}8 atrasado: I = I_{\text{mag}}\angle -36{,}8699^\circ.
pf 0{,}8 adiantado: I = I_{\text{mag}}\angle +36{,}8699^\circ.
pf 1{,}0: I é puramente real e positivo: I=I_{\text{mag}}\angle 0^\circ.
Passo 4
Equação explícita para V_2 (phasor) e para sua magnitude — fórmula que você usará para plotar:
Com Z_s = 0{,}012 + j\,0{,}05 e V_1=1\angle 0^\circ,V_2 = 1 - Z_s\,I.
Escrevendo I = I_{\text{mag}}(\cos\theta_I + j\sin\theta_I) e multiplicando, obtém-se uma expressão complexa para V_2. Para plotar a magnitude use|V_2(I_{\text{mag}})| = \sqrt{ \big(\Re\{V_2\}\big)^2 + \big(\Im\{V_2\}\big)^2 }.
Vou dar as fórmulas simplificadas que aparecem ao multiplicar Z_s pelo fasor corrente (útil para programar/plotar diretamente):
Para \mathrm{pf}=1 (isto é \theta_I=0):V_2 = \big(1 - 0{,}012\,I_{\text{mag}}\big) + j\big(-0{,}05\,I_{\text{mag}}\big),
Observação: estas expressões surgem da multiplicação direta de Z_s = 0{,}012+j0{,}05 por I_{\text{mag}}(\cos\theta_I + j\sin\theta_I). Dei os coeficientes numéricos já simplificados para facilitar a programação/plotagem.
Passo 5
Como gerar o gráfico na prática (passo a passo que podes reproduzir em uma calculadora, planilha ou Python/Matlab):
Escolha uma malha de pontos para I_{\text{mag}} entre 0 e 1 (por exemplo 0; 0{,}01; 0{,}02; …; 1{,}0).
Para cada I_{\text{mag}} calcule V_2 usando as fórmulas do Passo 4 (a fórmula muda conforme o pf).
Calcule a magnitude |V_2|.
Se quiser o valor em volts reais no secundário, multiplique |V_2| (pu) por V_{2,\text{nom}}=200\\ \mathrm{kV}.
Plote em abscissa I_{\text{mag}} (pu) e em ordenada |V_2| (pu ou kV). Faça uma curva para cada pf no mesmo gráfico.
Dica prática rápida: numa planilha coloque I na coluna A, e nas colunas seguintes coloque as expressões em TeX que dei (ou traduza para a função da sua planilha). Em Python/Matlab as fórmulas ficam diretas e fáceis de vetorizar.
Passo 6
Cálculos exemplo em pontos representativos (para você ver números concretos — eu detalho as contas para cada ponto):
Vou calcular |V_2| nos pontos I_{\text{mag}}=\{0,0{,}25,0{,}5,0{,}75,1{,}0\} para cada pf. Em todas as contas uso as fórmulas numéricas do Passo 4.
Caso \mathrm{pf}=1{,}0 (fórmula: V_2 = (1-0{,}012I)+j(-0{,}05I)):
Em kV (multiplicando por 200\\ \mathrm{kV}): no plena carga |V_2|\approx197{,}856\\ \mathrm{kV}.
Caso \mathrm{pf}=0{,}8 atrasado (fórmula: V_2=(1-0{,}0396I)+j(-0{,}0328I)):
I=0: |V_2|=1{,}00000 pu.
I=0{,}25: |V_2|\approx0{,}99014 pu.
I=0{,}5: |V_2|\approx0{,}98038 pu.
I=0{,}75: |V_2|\approx0{,}97066 pu.
I=1{,}0: |V_2|\approx0{,}96198 pu.
Em kV: no plena carga |V_2|\approx192{,}396\\ \mathrm{kV}.
Caso \mathrm{pf}=0{,}8 adiantado (fórmula: V_2=(1+0{,}0204I)+j(-0{,}0472I)):
I=0: |V_2|=1{,}00000 pu.
I=0{,}25: |V_2|\approx1{,}00517 pu.
I=0{,}5: |V_2|\approx1{,}01049 pu.
I=0{,}75: |V_2|\approx1{,}01593 pu.
I=1{,}0: |V_2|\approx1{,}02153 pu.
Em kV: no plena carga |V_2|\approx204{,}306\\ \mathrm{kV}.
Eu calculei estes números passo a passo: multipliquei Z_s pelo fasor corrente (com cosseno/seno já substuídos por 0{,}8 e 0{,}6) e depois subtraí de 1 e calculei a magnitude.
Passo 7
Observação sobre a impedância de magnetização j80 e seu efeito (para não ficar dúvida):
A corrente de magnetização em vazio é |I_m| \approx 1/80 = 0{,}0125 pu, com defasagem quase 90^\circ. Isso é muito pequeno diante de I_{FL}=1{,}0 pu.
Se incluirmos explicitamente I_m, o que muda conceitualmente é que a corrente que atravessa a impedância série passa a ser I_{\text{serie}} = I_{\text{load}} + I_m (soma fasorial) e usamos esta corrente em Z_s\,I_{\text{serie}} na queda. Fiz um cálculo rápido para o caso mais sensível (\mathrm{pf}=0{,}8 atrasado e I=1) e a magnitude resultante passando a ser \approx 0{,}96034 pu em vez de 0{,}96198 pu — diferença de cerca de 0{,}0016 pu (ou 0{,}32\\ \mathrm{kV}). Conclusão prática: a magnetização tem efeito desprezível para o gráfico pedido; a aproximação feita anteriormente (ignorar I_m) é apropriada e muito usada em problemas de “regulação de tensão” e plots de V vs I.
Passo 8
Instrução final para plotar e interpretação física das curvas:
Três curvas a plotar no mesmo eixo (I_{\text{mag}} horizontal, |V_2| vertical):
pf atrasado 0{,}8: curva decrescente de |V_2| com I (tensão cai mais rápido do que pf=1).
pf 1{,}0: queda de tensão moderada (apenas componente resistiva causa queda em parte real e reativa causa queda em imaginária).
pf adiantado 0{,}8: |V_2| aumenta com I (efeito de subida de tensão por componente reativa que gera uma fás já conhecida em transformadores).
Em termos práticos, no eixo y use pu ou converta para kV multiplicando por 200\\ \mathrm{kV}.
Valores de referência no plena carga I=1:
pf 0{,}8 atrasado: |V_2|\approx0{,}96198 pu \approx192{,}4\\ \mathrm{kV}.
pf 1{,}0: |V_2|\approx0{,}98928 pu \approx197{,}9\\ \mathrm{kV}.
pf 0{,}8 adiantado: |V_2|\approx1{,}02153 pu \approx204{,}3\\ \mathrm{kV}.
Passo 9
Resumo prático (como apresentar o resultado num relatório ou gabarito da prova):
Apresente a expressão analítica de cada curva (as fórmulas do Passo 4) e um pequeno conjunto de pontos (por exemplo os cinco pontos que calculei no Passo 6). Com isso qualquer avaliador vê que você sabe tanto a fórmula como a aplicação numérica.
Se for no exame, se pedirem o gráfico à mão, desenhe as três curvas usando os pontos (0,1) e os valores em I=\{0{,}25,0{,}5,0{,}75,1\}. Se for com computador, plote uma malha mais fina (por exemplo 0 a 1 passo 0{,}01).
Resposta
Para cada fator de potência, a tensão do secundário em pu como função da corrente I_{\text{mag}} (pu) é: