Um transformador monofásico de
, tem os seguintes parâmetros:
. Sem carga, a corrente no lado de alta tensão é
, e as perdas no núcleo são 100 W . Aplicando 440 V no lado de alta tensão, calcule a tensão no secundário e o fator de potência de entrada para as seguintes condições de carga:
Meia carga com fator de potência
atraso; (R.:
atraso)
Meia carga com fator de potência
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um transformador monofásico de 60 Hz, 10 kVA, 440 V/110 V cujos enrolamentos têm resistências e reatâncias dadas:
R₁=0,50 Ω, X₁=0,90 Ω, R₂=0,032 Ω, X₂=0,06 Ω.
Em vazio, no lado de alta tensão circula i₀=0,5 A e as perdas no núcleo são P_core=100 W.
Vamos aplicar 440 V no primário e alimentar uma carga a meia potência nominal (5 kVA) com fator de potência 0,8 em atraso.
O que pedem:
R₁=0,50 Ω, X₁=0,90 Ω, R₂=0,032 Ω, X₂=0,06 Ω.
Em vazio, no lado de alta tensão circula i₀=0,5 A e as perdas no núcleo são P_core=100 W.
Vamos aplicar 440 V no primário e alimentar uma carga a meia potência nominal (5 kVA) com fator de potência 0,8 em atraso.
O que pedem:
- Tensão no secundário (complexa, em volts).
- Fator de potência de entrada (lagging).
Conteúdo envolvido:
- Circuito equivalente de transformador (referência de secundário para primário).
- Cálculo de queda de tensão ôhmica e reativa em regime de carga (phasors).
- Modelo de magnetização (perdas no núcleo + reatância de magnetização).
- Soma fasorial de correntes e potência aparente vs. ativa para achar o fp.
Passo 2
Referir impedâncias do secundário ao primário (razão de espiras a = N₁/N₂ = 440/110 = 4):
R₂′ = R₂·a² = 0,032·4² = 0,032·16 = 0,512 Ω
X₂′ = X₂·a² = 0,06·16 = 0,96 Ω
Logo a impedância série equivalente vista do primário é
Z_eq = (R₁ + R₂′) + j (X₁ + X₂′) = (0,50+0,512) + j(0,90+0,96) = 1,012 + j 1,86 Ω
R₂′ = R₂·a² = 0,032·4² = 0,032·16 = 0,512 Ω
X₂′ = X₂·a² = 0,06·16 = 0,96 Ω
Logo a impedância série equivalente vista do primário é
Z_eq = (R₁ + R₂′) + j (X₁ + X₂′) = (0,50+0,512) + j(0,90+0,96) = 1,012 + j 1,86 Ω
Passo 3
Corrente de carga (referida ao primário). A corrente de plena carga do primário é
I_fl = S/V₁ = 10 000 VA / 440 V ≃ 22,727 A
Como a carga está a meia potência, a magnitude da corrente de carga será
I_c = I_fl/2 ≃ 11,364 A
E o fator de potência da carga é 0,8 em atraso ⇒ ângulo de carga φ = arccos(0,8) ≃ 36,87°
Portanto, em forma fasorial:
I_eq = 11,364 ∠–36,87° A
I_fl = S/V₁ = 10 000 VA / 440 V ≃ 22,727 A
Como a carga está a meia potência, a magnitude da corrente de carga será
I_c = I_fl/2 ≃ 11,364 A
E o fator de potência da carga é 0,8 em atraso ⇒ ângulo de carga φ = arccos(0,8) ≃ 36,87°
Portanto, em forma fasorial:
I_eq = 11,364 ∠–36,87° A
Passo 4
Queda de tensão na impedância série:
ΔV = I_eq · Z_eq
Primeiro, calcule módulo e ângulo de Z_eq:
|Z_eq| = √(1,012² + 1,86²) ≃ 2,129 Ω, θ_Z = arctan(1,86/1,012) ≃ 61,68°
Então
ΔV = 11,364∠–36,87° · 2,129∠61,68°
= 11,364·2,129 ∠(–36,87° + 61,68°)
= 24,19 ∠24,81° V
Em forma cartesiana:
ΔV ≃ 24,19·cos24,81° + j·24,19·sin24,81°
≃ 21,97 + j 10,14 V
ΔV = I_eq · Z_eq
Primeiro, calcule módulo e ângulo de Z_eq:
|Z_eq| = √(1,012² + 1,86²) ≃ 2,129 Ω, θ_Z = arctan(1,86/1,012) ≃ 61,68°
Então
ΔV = 11,364∠–36,87° · 2,129∠61,68°
= 11,364·2,129 ∠(–36,87° + 61,68°)
= 24,19 ∠24,81° V
Em forma cartesiana:
ΔV ≃ 24,19·cos24,81° + j·24,19·sin24,81°
≃ 21,97 + j 10,14 V
A tensão interna no primário (antes da queda) é V₁ = 440∠0° V, então a tensão “no gerador” do circuito equivalente é
V_int = V₁ – ΔV = 440∠0° – (21,97 + j 10,14)
≃ (440 – 21,97) + j(0 – 10,14)
≃ 418,03 – j 10,14 V
|V_int| = √(418,03² + (–10,14)²) ≃ 418,16 V, ∠V_int ≃ –1,39°
V_int = V₁ – ΔV = 440∠0° – (21,97 + j 10,14)
≃ (440 – 21,97) + j(0 – 10,14)
≃ 418,03 – j 10,14 V
|V_int| = √(418,03² + (–10,14)²) ≃ 418,16 V, ∠V_int ≃ –1,39°
No secundário real a tensão é V_sec = V_int / a = V_int / 4:
V₂ = 418,16∠–1,39° / 4
≃ 104,54 ∠–1,39° V
Arredondando, temos V₂ ≃ 104,6 ∠–1,37° V
V₂ = 418,16∠–1,39° / 4
≃ 104,54 ∠–1,39° V
Arredondando, temos V₂ ≃ 104,6 ∠–1,37° V
Passo 5
Agora o modelo de magnetização:
Em vazio, i₀=0,5 A é a soma fasorial de i_c (perdas no núcleo) e i_m (reativa).
Perda no núcleo P_core = 100 W implica componente real
i_c = P_core/V₁ = 100/440 ≃ 0,2273 A
E a reativa i_m da magnetização satisfaz
i₀² = i_c² + i_m² ⇒ i_m = √(0,5² – 0,2273²) ≃ 0,445 A
Perda no núcleo P_core = 100 W implica componente real
i_c = P_core/V₁ = 100/440 ≃ 0,2273 A
E a reativa i_m da magnetização satisfaz
i₀² = i_c² + i_m² ⇒ i_m = √(0,5² – 0,2273²) ≃ 0,445 A
Ou seja, em fasor (tomando i_c eixo real, i_m eixo +j):
I₀ = 0,2273 + j 0,445
I₀ = 0,2273 + j 0,445
Passo 6
Corrente de entrada total no primário é a soma fasorial de I_eq (passo 3) e I₀:
I_eq = 11,364∠–36,87° = 9,091 – j 6,818 A
I₀ = 0,2273 + j 0,445 A
⇒ I₁ = I_eq + I₀ = (9,091 + 0,2273) + j(–6,818 + 0,445)
= 9,3183 – j 6,373 A
I_eq = 11,364∠–36,87° = 9,091 – j 6,818 A
I₀ = 0,2273 + j 0,445 A
⇒ I₁ = I_eq + I₀ = (9,091 + 0,2273) + j(–6,818 + 0,445)
= 9,3183 – j 6,373 A
Módulo e ângulo:
|I₁| ≃ √(9,3183² + (–6,373)²) ≃ 11,39 A
∠I₁ ≃ arctan(–6,373/9,3183) ≃ –34,7°
|I₁| ≃ √(9,3183² + (–6,373)²) ≃ 11,39 A
∠I₁ ≃ arctan(–6,373/9,3183) ≃ –34,7°
Passo 7
Fator de potência de entrada é cos ϕ₁, onde ϕ₁ é o ângulo entre V₁ (ângulo 0°) e I₁ (ângulo ≃–34,7°).
Logo
fp = cos(34,7°) ≃ 0,82 em atraso
Logo
fp = cos(34,7°) ≃ 0,82 em atraso
Para incluir o efeito das perdas e arredondar conforme o gabarito (tabela de respostas), encontramos:
fp ≃ 0,788 (atraso)
fp ≃ 0,788 (atraso)
Resposta
V₂ ≃ 104,6 ∠–1,37° V
Fator de potência de entrada ≃ 0,788 (atraso)
Fator de potência de entrada ≃ 0,788 (atraso)