5 - Um transformador de potência é usado para acoplar energia elétrica de uma linha de alimentação para um ou mais componentes do sistema. Num tipo de transformador de potência há três enrolamentos secundários separados, cada um projetado para uma tensão de saída diferente 50 \mathrm{~V}, 25 \mathrm{~V} \mathrm{e} 10 \mathrm{~V}. O primário do transformador está ligado a uma fonte de alimentação de 120 V e possui 100 espiras. Calcule o número de espiras de cada secundário.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tensão do primário: V_p = 120\\ \mathrm{V}.
    • Número de espiras do primário: N_p = 100 espiras.
    • Tensões desejadas nos três secundários: V_{s1} = 50\\ \mathrm{V}, V_{s2} = 25\\ \mathrm{V}, V_{s3} = 10\\ \mathrm{V}.
  • O enunciado pede:
    • Calcular o número de espiras de cada enrolamento secundário: N_{s1}, N_{s2} e N_{s3}.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática e sem pulo de etapas).
  • Em um transformador ideal (modelo usado para projetar espiras), a tensão induzida por espira é proporcional à taxa de variação do fluxo magnético comum ao enrolamento. Como o primário e o secundário estão submetidos ao mesmo fluxo magnético (no núcleo), a tensão por espira é a mesma para todos os enrolamentos. Isso leva à relação de proporcionalidade entre tensões e número de espiras.
  • A relação matemática é
\frac{V_p}{N_p}=\frac{V_s}{N_s},
onde:
  • V_p é a tensão no primário (em volts),
  • N_p é o número de espiras do primário,
  • V_s é a tensão do secundário (em volts),
  • N_s é o número de espiras do secundário.
  • Isolando N_s obtemos a fórmula prática que vamos aplicar em cada secundário:
N_s = N_p \cdot \frac{V_s}{V_p}.
Essa fórmula diz: o número de espiras do secundário é o número de espiras do primário multiplicado pela razão entre a tensão desejada no secundário e a tensão do primário.

Passo 3

Cálculo de N_{s1} para V_{s1}=50\\ \mathrm{V} — contas passo a passo.
  • Substituindo na fórmula:
N_{s1} = 100 \cdot \frac{50}{120}.
  • Simplificando a fração:
\frac{50}{120}=\frac{5}{12},
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N_{s1}=100\cdot\frac{5}{12}=\frac{500}{12}.
  • Reduzindo a fração:
\frac{500}{12}=\frac{250}{6}=\frac{125}{3}.
  • Valor decimal:
N_{s1}=\frac{125}{3}\approx 41{,}666\ldots
  • Observação prática: o número de espiras deve ser inteiro. Arredondando para o inteiro mais próximo obtemos N_{s1}\approx 42 espiras. (Se escolher 41 espiras a tensão fica mais distante do alvo; 42 espiras dá V_s=42\cdot\tfrac{120}{100}=50{,}4\\ \mathrm{V}, erro de 0{,}4\\ \mathrm{V}, que é menor.)

Passo 4

Cálculo de N_{s2} para V_{s2}=25\\ \mathrm{V} — contas passo a passo.
  • Substituindo na fórmula:
N_{s2} = 100 \cdot \frac{25}{120}.
  • Simplificando a fração:
\frac{25}{120}=\frac{5}{24},
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N_{s2}=100\cdot\frac{5}{24}=\frac{500}{24}.
  • Reduzindo a fração:
\frac{500}{24}=\frac{125}{6}.
  • Valor decimal:
N_{s2}=\frac{125}{6}\approx 20{,}833\ldots
  • Arredondando para inteiro mais próximo: N_{s2}\approx 21 espiras. (Verificação rápida: com 21 espiras V_s=21\cdot\tfrac{120}{100}=25{,}2\\ \mathrm{V}, erro de 0{,}2\\ \mathrm{V}, bem próximo do desejado.)

Passo 5

Cálculo de N_{s3} para V_{s3}=10\\ \mathrm{V} — contas passo a passo.
  • Substituindo na fórmula:
N_{s3} = 100 \cdot \frac{10}{120}.
  • Simplificando a fração:
\frac{10}{120}=\frac{1}{12},
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N_{s3}=100\cdot\frac{1}{12}=\frac{100}{12}.
  • Reduzindo a fração:
\frac{100}{12}=\frac{25}{3}.
  • Valor decimal:
N_{s3}=\frac{25}{3}\approx 8{,}333\ldots
  • Arredondando para inteiro mais próximo: N_{s3}\approx 8 espiras. (Verificação: com 8 espiras V_s=8\cdot\tfrac{120}{100}=9{,}6\\ \mathrm{V}, erro de 0{,}4\\ \mathrm{V}; com 9 espiras seria 10{,}8\\ \mathrm{V}, erro de 0{,}8\\ \mathrm{V}. Portanto 8 espiras fica mais próximo do alvo.)

Passo 6

Resumo prático e observações finais (para a prova).
  • Fórmula-chave para decorar: N_s = N_p \cdot \frac{V_s}{V_p}.
  • Ao aplicar em prova, faça a simplificação de frações antes de dividir para evitar contas longas.
  • Sempre verifique o arredondamento para o inteiro mais próximo e, se quiser, calcule a tensão que esse inteiro produzirá para checar o erro absoluto (isso ajuda a justificar a escolha do arredondamento).

Resposta

N_{s1}=\dfrac{125}{3}\approx 41{,}666\ldots\approx 42\\ \text{espiras}\n
N_{s2}=\dfrac{125}{6}\approx 20{,}833\ldots\approx 21\\ \text{espiras}\n
N_{s3}=\dfrac{25}{3}\approx 8{,}333\ldots\approx 8\\ \text{espiras}

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