Transformar os ângulos a seguir para graus decimais:
e) 37^{\circ} 24^{\prime} 57^{\prime \prime}=

Passo 1

O enunciado pede: transformar para graus decimais o ângulo 37^{\circ}24^{\prime}57^{\prime\prime}.
Dados fornecidos: 37^{\circ} (graus), 24^{\prime} (minutos) e 57^{\prime\prime} (segundos).

Passo 2

Entendendo o que significam minutos e segundos de arco e a fórmula de conversão.
  • Um minuto de arco vale \tfrac{1}{60} de grau, ou seja, 1^{\prime} = \tfrac{1}{60}^{\circ}.
  • Um segundo de arco vale \tfrac{1}{3600} de grau, ou seja, 1^{\prime\prime} = \tfrac{1}{3600}^{\circ}.
    Portanto a fórmula geral para converter \alpha^{\circ}\beta^{\prime}\gamma^{\prime\prime} em graus decimais é:
\text{graus decimais} = \alpha + \frac{\beta}{60} + \frac{\gamma}{3600}.
Aqui \alpha é o número de graus inteiros, \beta o número de minutos, \gamma o número de segundos.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso ângulo:
37^{\circ}24^{\prime}57^{\prime\prime} = 37 + \frac{24}{60} + \frac{57}{3600}.
Agora vamos calcular cada fração de forma que dê para fazer na prova sem calculadora.

Passo 4

Calcular \dfrac{24}{60}.
Como 24 é exatamente 24 de 60, temos
\frac{24}{60} = 0{,}4
(exatamente).

Passo 5

Calcular \dfrac{57}{3600}.
Primeiro simplifico a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{57}{3600} = \frac{19}{1200}.
Agora escrevo \dfrac{19}{1200} como soma de partes fáceis: observo que 0{,}015\times 1200 = 18. Logo
\frac{19}{1200} = 0{,}015 + \frac{1}{1200}.
E \dfrac{1}{1200} = \dfrac{1}{12}\times \dfrac{1}{100} = 0{,}083333\ldots \times 0{,}01 = 0{,}00083333\ldots. Portanto
\frac{19}{1200} = 0{,}015 + 0{,}00083333\ldots = 0{,}01583333\ldots

Passo 6

Somando tudo:
37 + 0{,}4 + 0{,}01583333\ldots = 37{,}41583333\ldots
Posso também dar a forma exata em fração: juntando as partes com denominador comum 3600,
37 + \frac{24}{60} + \frac{57}{3600} = 37 + \frac{1497}{3600} = 37 + \frac{499}{1200} = \frac{44899}{1200}.
A forma decimal periódica é 37{,}4158\overline{3} (ou seja, os 3 se repetem indefinidamente).

Resposta

37{,}4158\overline{3}^{\circ}

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