Transformar os ângulos a seguir para graus decimais:
d) 42^{\circ} 12^{\prime} 28^{\prime \prime}=

Passo 1

O enunciado pede para transformar o ângulo dado para graus decimais. Dados fornecidos:
\text{o ângulo} = 42^\circ\;12'\;28''.â
Portanto:
d=42,\quad m=12,\quad s=28.

Passo 2

Regra de conversão (explique como funciona):
1'=\frac{1}{60}\text{ grau},\qquad 1''=\frac{1}{60}\cdot\frac{1}{60}=\frac{1}{3600}\text{ grau}.
Se d é o número de graus, m o de minutos e s o de segundos, a fórmula para graus decimais D é
D = d + \frac{m}{60} + \frac{s}{3600}.
Aqui d tem unidade grau, m está em minutos (cada minuto vale 1/60 de grau) e s em segundos (cada segundo vale 1/3600 de grau).

Passo 3

Substituímos os valores do problema na fórmula:
D = 42 + \frac{12}{60} + \frac{28}{3600}.

Passo 4

Calculemos cada parcela separadamente, explicando cada passo:
\frac{12}{60}=\frac{1}{5}=0,2.
Para \dfrac{28}{3600} simplificamos a fração dividindo por 4:
\frac{28}{3600}=\frac{7}{900}.
Agora vejamos a forma decimal de \dfrac{7}{900}. Observe que
\frac{7}{900}=\frac{7}{9}\cdot\frac{1}{100}.
Sabemos que \dfrac{7}{9}=0,\overline{7} (ou seja, 0,7777\ldots); dividindo por 100 deslocamos a vírgula duas casas:
\frac{7}{900}=0,007\overline{7}=0,007777\ldots.

Passo 5

Somamos as parcelas em forma decimal, alinhando as casas:
42 + 0,2 + 0,007\overline{7} = 42,207\overline{7}.
Também podemos escrever o valor exato em forma de fração com denominador 900. Convertendo cada parcela para novecentos avos:
42 = \frac{37800}{900},\qquad \frac{12}{60}=\frac{180}{900},\qquad \frac{28}{3600}=\frac{7}{900}.
Somando:
\frac{37800}{900}+\frac{180}{900}+\frac{7}{900}=\frac{37987}{900}.
Portanto o valor exato em graus é \dfrac{37987}{900}^\circ, que em decimal é 42,207\overline{7}^\circ. Se for necessário arredondar, por exemplo com 5 casas decimais: 42,20778^\circ.

Resposta

42,207\overline{7}^\circ

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