Transformar as seguintes equações dadas em coordenadas polares em Coordenadas Cartesianas.
r=42-cos (theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação em coordenadas polares: r = 42 - cos(theta) . Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender como passar de coordenadas polares (r, theta) para cartesianas (x, y). Vamos usar umas fórmulas básicas de conversão para fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que ligam as coordenadas polares às cartesianas:
x = r cdot cos(theta)
y = r cdot sin(theta)
E também sabemos que:
r = raizx^2 + y^2
Essas fórmulas vão nos ajudar a substituir r e cos(theta) na nossa equação original.

Passo 3

Agora, vamos substituir cos(theta) na equação original. Da fórmula x = r cdot cos(theta) , podemos isolar cos(theta) :
cos(theta) = xr
Substituindo isso na equação original:
r = 42 - xr
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por r :
r = 4r2r - x
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por 2r - x para eliminar o denominador:
r(2r - x) = 4r
Distribuindo o r :
2r^2 - x r = 4r
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
2r^2 - x r - 4r = 0
Fatorando o r :
r(2r - x - 4) = 0
Como r neq 0 , temos:
2r - x - 4 = 0
Agora, lembrando que r = raizx^2 + y^2 , substituímos:
2raizx^2 + y^2 - x - 4 = 0
Isolando a raiz:
2raizx^2 + y^2 = x + 4
Elevando ambos os lados ao quadrado:
4(x^2 + y^2) = (x + 4)^2
Expandindo o lado direito:
4x^2 + 4y^2 = x^2 + 8x + 16
Subtraindo x^2 + 8x + 16 de ambos os lados:
3x^2 + 4y^2 - 8x - 16 = 0
Organizando os termos:
3x^2 - 8x + 4y^2 = 16
Podemos deixar assim ou simplificar mais, dependendo do formato desejado.

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas é:
3x^2 - 8x + 4y^2 = 16

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