Transforme a) 223^circ para radianos e b) 6 rad para graus. c) Calcule cos (0.8 rad). d) Quanto vale sin theta, se cos theta=0.75 ? e) Quanto vale theta (em radianos) no caso do item anterior? f) Quais são os dois menores ângulos positivos (em radianos) tais que cos theta é nulo e sin theta é negativo?

Passo 1

O enunciado pede várias operações envolvendo medidas de ângulos e funções trigonométricas. O conteúdo principal é conversão entre graus e radianos, cálculo de cos e sin, uso da identidade trigonométrica sin^2theta+cos^2theta=1 e determinação de soluções para costheta=0 em que sintheta<0.

Passo 2

Para transformar de graus para radianos usamos
rad = graustimes pi180
Logo,
223^circ = 223timespi180 = 223pi180 rad approx 3,896 rad

Passo 3

Para transformar de radianos para graus usamos
graus = radtimes 180pi
Logo,
6 rad = 6times180pi = 1080pi^circ approx 343,77^circ

Passo 4

Para calcular cos(0,8,rad) usamos calculadora ou série de Taylor. Numericamente obtemos
cos(0,8)approx 0,6967

Passo 5

Se costheta=0,75, pela identidade sin^2theta=1-cos^2theta temos
sintheta = pmraiz1-(0,75)^2 = pmraiz1-0,5625 = pmraiz0,4375 = pmraiz74
Sem outra informação de quadrante, normalmente escolhemos o sinal positivo:
sintheta = raiz74approx 0,6614

Passo 6

Para achar theta (com sintheta>0) resolvemos
theta = arccos(0,75)approx 0,7227 rad

Passo 7

Queremos os dois menores theta>0 tais que costheta=0 e sintheta<0. As soluções gerais de costheta=0 são
theta = pi2 + kpi, kinZ
Dentre essas, as que têm sintheta<0 são para k=1,3,dots. Os dois menores positivos são
theta = 3pi2, theta = 7pi2

Resposta

a) 223pi180,radapprox3,896,rad
b) 1080pi^circapprox343,77^circ
c) cos(0,8)approx0,6967
d) sintheta=pmraiz74, normalmente raiz74approx0,6614
e) theta=arccos(0,75)approx0,7227,rad
f) theta=3pi2 e theta=7pi2

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