Transforme para binário os seguintes números.
Passo 1
O enunciado pede: transformar para binário o número
.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
- O número decimal é
. - Podemos separar em parte inteira e parte fracionária:
- parte inteira:
, - parte fracionária:
.
- parte inteira:
O objetivo final é escrever o mesmo número em base 2, isto é obter os dígitos antes e depois da vírgula na base binária.
Passo 2
Como converter a parte inteira
para binário (método e explicação didática).
- Ideia: dividir sucessivamente a parte inteira por
. Cada divisão dá um quociente e um resto ou . Os restos, lidos de baixo para cima (ou seja, do último resto obtido para o primeiro), são os dígitos binários da parte inteira: o último resto é o bit mais significativo. - Exemplo rápido: se eu dividir por
e obtiver resto , isso significa que há um na posição ; o próximo resto corresponde a , e assim por diante.
Agora aplicando a
passo a passo (mostrando quociente e resto):
- Lendo os restos de baixo para cima (do último para o primeiro):
. - Portanto a parte inteira em binário é
.
Pequena verificação (para me deixar mais confiante):
Tudo certo.]
Passo 3
Como converter a parte fracionária
para binário (método e explicação didática).
- Ideia (muito usada em provas): multiplicar a parte fracionária por
. O inteiro resultante em cada multiplicação (ou seja, a parte à esquerda da vírgula) é o próximo dígito binário após a vírgula; a nova parte fracionária é a parte decimal remanescente. Repetir o processo para obter mais dígitos. - Alternativa equivalente (mais exata para raciocínio): escrever a fração decimal como uma fração racional
e então aplicar multiplicações de por comparando com . Vou usar essa forma para evitar erros de arredondamento.
Transformando
em fração racional:
Reduzindo a fração por
:
Logo a parte fracionária é
.
Comentário importante sobre terminação/repetição:
- Uma fração
tem representação finita em base só se, depois de simplificar, o denominador for potência de . Aqui e, após simplificar, ainda existe fator no denominador. Portanto a representação binária NÃO termina: será periódica (repetirá bits). Isso significa que teremos infinitos dígitos após a vírgula em binário. Em provas normalmente pede-se um número finito de casas ou indicar que repete; aqui vou obter os primeiros bits para mostrar o procedimento e indicar que continua.
Passo 4
Converter
em binário pelo algoritmo de multiplicar por
(implementado como multiplicar o numerador por
e comparar com o denominador).
- Procedimento (forma com numerador): seja
. Para cada passo calcular . Se então o bit e . Se então e . O bit é o primeiro dígito após a vírgula, o segundo, etc. - Vou executar muitos passos para mostrar o padrão inicial (cada linha: multiplicação, bit obtido e resto).
- Esses passos fornecem os primeiros
bits fracionários. Para ficar claro, a sequência dos bits fracionários ( ) obtida é:
(ou seja, começando:
.)]
Passo 5
Interpretação e conclusão (juntando parte inteira e fracionária).
- A parte inteira deu
. - A parte fracionária é uma expansão infinita periódica; os primeiros
bits após a vírgula são os mostrados no passo anterior. Em notação curta escrevemos a parte fracionária com reticências para indicar continuação. - Assim, uma escrita correta (aproximada, com reticência para mostrar que continua) é: