Transforme para binário os seguintes números.
145,0115_{10}

Passo 1

O enunciado pede: transformar para binário o número \,145,0115_{10}.
As informações dadas são:
  • O número decimal é \,145,0115_{10}.
  • Podemos separar em parte inteira e parte fracionária:
    • parte inteira: \,145,
    • parte fracionária: \,0,0115.
O objetivo final é escrever o mesmo número em base 2, isto é obter os dígitos antes e depois da vírgula na base binária.

Passo 2

Como converter a parte inteira \,145 para binário (método e explicação didática).
  • Ideia: dividir sucessivamente a parte inteira por 2. Cada divisão dá um quociente e um resto 0 ou 1. Os restos, lidos de baixo para cima (ou seja, do último resto obtido para o primeiro), são os dígitos binários da parte inteira: o último resto é o bit mais significativo.
  • Exemplo rápido: se eu dividir por 2 e obtiver resto 1, isso significa que há um 1 na posição 2^0; o próximo resto corresponde a 2^1, e assim por diante.
Agora aplicando a \,145 passo a passo (mostrando quociente e resto):
\begin{array}{l} 145 \div 2 = 72 \text{ com resto } 1\\[2pt] 72 \div 2 = 36 \text{ com resto } 0\\[2pt] 36 \div 2 = 18 \text{ com resto } 0\\[2pt] 18 \div 2 = 9 \text{ com resto } 0\\[2pt] 9 \div 2 = 4 \text{ com resto } 1\\[2pt] 4 \div 2 = 2 \text{ com resto } 0\\[2pt] 2 \div 2 = 1 \text{ com resto } 0\\[2pt] 1 \div 2 = 0 \text{ com resto } 1 \end{array}
  • Lendo os restos de baixo para cima (do último para o primeiro): 1,0,0,1,0,0,0,1.
  • Portanto a parte inteira em binário é \,10010001_2.
Pequena verificação (para me deixar mais confiante):
1\cdot2^{7}+0\cdot2^{6}+0\cdot2^{5}+1\cdot2^{4}+0\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+0\cdot2^{1}+1\cdot2^{0} =128+16+1=145.
Tudo certo.]

Passo 3

Como converter a parte fracionária \,0,0115 para binário (método e explicação didática).
  • Ideia (muito usada em provas): multiplicar a parte fracionária por 2. O inteiro resultante em cada multiplicação (ou seja, a parte à esquerda da vírgula) é o próximo dígito binário após a vírgula; a nova parte fracionária é a parte decimal remanescente. Repetir o processo para obter mais dígitos.
  • Alternativa equivalente (mais exata para raciocínio): escrever a fração decimal como uma fração racional \dfrac{p}{q} e então aplicar multiplicações de p por 2 comparando com q. Vou usar essa forma para evitar erros de arredondamento.
Transformando \,0,0115 em fração racional:
0,0115=\frac{115}{10000}.
Reduzindo a fração por 5:
\frac{115}{10000}=\frac{23}{2000}.
Logo a parte fracionária é \dfrac{23}{2000}.
Comentário importante sobre terminação/repetição:
  • Uma fração \dfrac{a}{b} tem representação finita em base 2 só se, depois de simplificar, o denominador b for potência de 2. Aqui 2000=2^{4}\cdot5^{3} e, após simplificar, ainda existe fator 5 no denominador. Portanto a representação binária NÃO termina: será periódica (repetirá bits). Isso significa que teremos infinitos dígitos após a vírgula em binário. Em provas normalmente pede-se um número finito de casas ou indicar que repete; aqui vou obter os primeiros bits para mostrar o procedimento e indicar que continua.

Passo 4

Converter \dfrac{23}{2000} em binário pelo algoritmo de multiplicar por 2 (implementado como multiplicar o numerador por 2 e comparar com o denominador).
  • Procedimento (forma com numerador): seja r_0=23. Para cada passo k\ge1 calcular 2r_{k-1}. Se 2r_{k-1}\ge2000 então o bit b_k=1 e r_k=2r_{k-1}-2000. Se 2r_{k-1}<2000 então b_k=0 e r_k=2r_{k-1}. O bit b_1 é o primeiro dígito após a vírgula, b_2 o segundo, etc.
  • Vou executar muitos passos para mostrar o padrão inicial (cada linha: multiplicação, bit obtido e resto).
\begin{array}{l} r_0=23\\[2pt] 2r_0=46<2000\Rightarrow b_1=0,\\ r_1=46\\[2pt] 2r_1=92<2000\Rightarrow b_2=0,\\ r_2=92\\[2pt] 2r_2=184<2000\Rightarrow b_3=0,\\ r_3=184\\[2pt] 2r_3=368<2000\Rightarrow b_4=0,\\ r_4=368\\[2pt] 2r_4=736<2000\Rightarrow b_5=0,\\ r_5=736\\[2pt] 2r_5=1472<2000\Rightarrow b_6=0,\\ r_6=1472\\[2pt] 2r_6=2944\ge2000\Rightarrow b_7=1,\\ r_7=2944-2000=944\\[2pt] 2r_7=1888\ge2000\Rightarrow b_8=0,\\ r_8=1888\\[2pt] 2r_8=3776\ge2000\Rightarrow b_9=1,\\ r_9=1776\\[2pt] 2r_9=3552\ge2000\Rightarrow b_{10}=1,\\ r_{10}=1552\\[2pt] 2r_{10}=3104\ge2000\Rightarrow b_{11}=1,\\ r_{11}=1104\\[2pt] 2r_{11}=2208\ge2000\Rightarrow b_{12}=1,\\ r_{12}=208\\[2pt] 2r_{12}=416<2000\Rightarrow b_{13}=0,\\ r_{13}=416\\[2pt] 2r_{13}=832<2000\Rightarrow b_{14}=0,\\ r_{14}=832\\[2pt] 2r_{14}=1664<2000\Rightarrow b_{15}=0,\\ r_{15}=1664\\[2pt] 2r_{15}=3328\ge2000\Rightarrow b_{16}=1,\\ r_{16}=1328\\[2pt] 2r_{16}=2656\ge2000\Rightarrow b_{17}=1,\\ r_{17}=656\\[2pt] 2r_{17}=1312<2000\Rightarrow b_{18}=0,\\ r_{18}=1312\\[2pt] 2r_{18}=2624\ge2000\Rightarrow b_{19}=1,\\ r_{19}=624\\[2pt] 2r_{19}=1248<2000\Rightarrow b_{20}=0,\\ r_{20}=1248\\[2pt] 2r_{20}=2496\ge2000\Rightarrow b_{21}=1,\\ r_{21}=496\\[2pt] 2r_{21}=992<2000\Rightarrow b_{22}=0,\\ r_{22}=992\\[2pt] 2r_{22}=1984<2000\Rightarrow b_{23}=0,\\ r_{23}=1984\\[2pt] 2r_{23}=3968\ge2000\Rightarrow b_{24}=1,\\ r_{24}=1968\\[2pt] 2r_{24}=3936\ge2000\Rightarrow b_{25}=1,\\ r_{25}=1936\\[2pt] 2r_{25}=3872\ge2000\Rightarrow b_{26}=1,\\ r_{26}=1872\\[2pt] 2r_{26}=3744\ge2000\Rightarrow b_{27}=1,\\ r_{27}=1744\\[2pt] 2r_{27}=3488\ge2000\Rightarrow b_{28}=1,\\ r_{28}=1488\\[2pt] 2r_{28}=2976\ge2000\Rightarrow b_{29}=1,\\ r_{29}=976\\[2pt] 2r_{29}=1952<2000\Rightarrow b_{30}=0,\\ r_{30}=1952\\[2pt] 2r_{30}=3904\ge2000\Rightarrow b_{31}=1,\\ r_{31}=1904\\[2pt] 2r_{31}=3808\ge2000\Rightarrow b_{32}=1,\\ r_{32}=1808\\[2pt] 2r_{32}=3616\ge2000\Rightarrow b_{33}=1,\\ r_{33}=1616\\[2pt] 2r_{33}=3232\ge2000\Rightarrow b_{34}=1,\\ r_{34}=1232\\[2pt] 2r_{34}=2464\ge2000\Rightarrow b_{35}=1,\\ r_{35}=464\\[2pt] 2r_{35}=928<2000\Rightarrow b_{36}=0,\\ r_{36}=928\\[2pt] 2r_{36}=1856<2000\Rightarrow b_{37}=0,\\ r_{37}=1856\\[2pt] 2r_{37}=3712\ge2000\Rightarrow b_{38}=1,\\ r_{38}=1712\\[2pt] 2r_{38}=3424\ge2000\Rightarrow b_{39}=1,\\ r_{39}=1424\\[2pt] 2r_{39}=2848\ge2000\Rightarrow b_{40}=1,\\ r_{40}=848 \end{array}
  • Esses passos fornecem os primeiros 40 bits fracionários. Para ficar claro, a sequência dos bits fracionários ( b_1,b_2,\dots) obtida é:
\begin{array}{l} b_1b_2\ldots b_{40}=\\\ \quad 0\,0\,0\,0\,0\,0\,1\,0\,1\,1\;1\,1\,0\,0\,0\,1\,1\,0\,1\,0\;1\,0\,0\,1\,1\,1\,1\,1\,1\,0\,1\;1\,1\,1\,1\,1\,0\,0\,1\,1\,1. \end{array}
(ou seja, começando: 0\,0\,0\,0\,0\,0\,1\,0\,1\,1\,1\,1\,0\,0\ldots.)]

Passo 5

Interpretação e conclusão (juntando parte inteira e fracionária).
  • A parte inteira deu \,10010001_2.
  • A parte fracionária é uma expansão infinita periódica; os primeiros 40 bits após a vírgula são os mostrados no passo anterior. Em notação curta escrevemos a parte fracionária com reticências para indicar continuação.
  • Assim, uma escrita correta (aproximada, com reticência para mostrar que continua) é:
145,0115_{10}=10010001,0000001011110001101010011111101111100111\ldots_2.

Resposta

10010001,0000001011110001101010011111101111100111\ldots_2

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