No projeto de sistemas de suspensão veicular independentes, como em veículos automotivos modernos, é comum modelar os deslocamentos verticais das rodas como vetores tridimensionais. Suponha que os pontos de apoio das suspensões de três rodas de um triciclo sejam monitorados individualmente, com deslocamentos verticais descritos por um vetor v=(x, y, z) in R^3, onde: ( 2 , 0 pontos)
& x : deslocamento vertical da roda dianteira, & y: deslocamento da roda traseira esquerda, & z : deslocamento da roda traseira direita
Por razões de equilibrio dinâmico e conservação do centro de massa (ou para manter o chassis nivelado durante oscilações), exige-se que a soma dos deslocamentos seja sempre nula:
x+y+z=0
a) Mostre que o conjunto
V=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0 é um subespaço vetorial de R^3.
b) Encontre a dimensão de V e explique do ponto de vista fisico por que a condição x+y+z=0 é comum em modelos de sistemas que envolvem conservação de energia ou movimento em veículos.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (x,y,z)inR^3 mid x+y+z=0
e pede:
a) mostrar que V é subespaço vetorial de R^3;
b) encontrar dim(V) e justificar fisicamente por que a condição x+y+z=0 aparece em modelos de suspensão veicular.

Passo 2

Para verificar que V é subespaço de R^3 checamos as três propriedades:
  1. Vetor zero: (0,0,0) satisfaz 0+0+0=0, logo (0,0,0)in V.
  2. Fechamento sob soma: se (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) estão em V, então
(x1+y1+z1)=0,(x2+y2+z2)=0
e
(x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2) =(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2)=0+0=0,
logo (x1+x2,y1+y2,z1+z2)in V.
3. Fechamento sob escalar: dado (x,y,z)in V e lambdainR,
(lambda x)+(lambda y)+(lambda z) =lambda,(x+y+z)=lambdacdot0=0,
logo (lambda x,lambda y,lambda z)in V.
Como V contém o zero e é fechado em soma e multiplicação por escalar, concluímos que V é subespaço de R^3.

Passo 3

Para achar dim(V) escrevemos os vetores de V em forma paramétrica:
x+y+z=0Longrightarrow z=-x-y,
então
V=(x,y,-x-y)mid x,yinR =x,(1,0,-1)+y,(0,1,-1)
Os vetores (1,0,-1) e (0,1,-1) são linearmente independentes e geram V, logo formam uma base.
Portanto
dim(V)=2

Passo 4

Fisicamente, a condição x+y+z=0 impõe que a soma dos deslocamentos verticais das três rodas seja zero. Isso significa que o centro de massa (ou o chassi) não se desloca verticalmente como um todo, mantendo-o nivelado. Em termos de graus de liberdade, em vez de três deslocamentos independentes temos apenas dois modos de oscilação (por exemplo, “pitch” e “roll”), o que reduz energia dissipada e facilita o controle dinâmico do veículo.

Resposta

a) V é subespaço vetorial de R^3.
b) dim(V)=2.

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