1. Transforme a equação
y^{\prime \prime}(x)=y^{\prime}(x)^{2} e^{y(x)}-y(x) e^{x}+x \cos (x)
a um sistema equivalente de equações da primeira ordem.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y^{\prime\prime}(x)=y^{\prime}(x)^{2} e^{y(x)}-y(x) e^{x}+x \cos(x)
e pede para transformá‑la em um sistema equivalente de equações da primeira ordem.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve y, sua primeira derivada y' e sua segunda derivada y''.
  • Não são fornecidas condições iniciais; o pedido é somente a transformação para um sistema de primeira ordem, equivalente à equação original.

Passo 2

Idéia do procedimento (sem resolver ainda): para reduzir uma equação de ordem maior a um sistema de primeira ordem, introduzimos novas variáveis que representem a função e suas derivadas até a ordem menor. Isso transforma uma única equação de ordem n em n equações de primeira ordem. Vou fazer isso passo a passo e explicar por que é equivalente.

Passo 3

Definimos duas novas funções (variáveis de estado) que representam y e y'. Escrevo explicitamente:
u_{1}(x) := y(x)
u_{2}(x) := y^{\prime}(x)
Explicação didática: ao fazer isso estamos apenas renomeando a função e sua derivada. A vantagem é que agora podemos escrever derivadas de u_{1} e u_{2} que serão equações de primeira ordem.

Passo 4

Calculo as derivadas de u_{1} e u_{2}. Pelas definições:
u_{1}^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}u_{1}(x)=\frac{d}{dx}y(x)=y^{\prime}(x)=u_{2}(x).
E
u_{2}^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}u_{2}(x)=\frac{d}{dx}y^{\prime}(x)=y^{\prime\prime}(x).
Agora uso a equação original para substituir y^{\prime\prime}(x) em termos de y, y' e x. Substituindo y(x)=u_{1}(x) e y^{\prime}(x)=u_{2}(x) na equação dada, obtenho:
u_{2}^{\prime}(x)=u_{2}(x)^{2} e^{u_{1}(x)}-u_{1}(x) e^{x}+x\cos(x).

Passo 5

Juntando as duas equações de primeira ordem que temos:
u_{1}^{\prime}(x)=u_{2}(x)
u_{2}^{\prime}(x)=u_{2}(x)^{2} e^{u_{1}(x)}-u_{1}(x) e^{x}+x\cos(x)
Comentário didático: este sistema é equivalente à equação original porque qualquer função y(x) que satisfaça a equação de segunda ordem gera, através das definições acima, uma solução (u_{1},u_{2}) do sistema. Reciprocamente, qualquer solução (u_{1},u_{2}) do sistema com u_{1} duas vezes diferenciável dá y=u_{1} que satisfaz a equação original.

Passo 6

Forma vetorial (notação compacta) e observações práticas. Definindo o vetor
\mathbf{u}(x)=\begin{pmatrix}u_{1}(x)\\[4pt]u_{2}(x)\end{pmatrix},
podemos escrever o sistema como
\mathbf{u}^{\prime}(x)=\begin{pmatrix}u_{2}(x)\\[4pt]u_{2}(x)^{2} e^{u_{1}(x)}-u_{1}(x) e^{x}+x\cos(x)\end{pmatrix}.
Observação sobre condições iniciais: se tivéssemos condições y(x_{0})=y_{0} e y^{\prime}(x_{0})=y_{1}, elas se tornam
u_{1}(x_{0})=y_{0},\qquad u_{2}(x_{0})=y_{1}.
Isso é exatamente o que se usa em métodos numéricos (Runge–Kutta, etc.), que trabalham com sistemas de primeira ordem.]

Passo 7

Exemplo rápido para fixar a técnica (sem relação com os coeficientes do enunciado): se a equação fosse \,y^{\prime\prime}=-y\,, definindo u_{1}=y,\;u_{2}=y' teríamos u_{1}'=u_{2} e u_{2}'=-u_{1}. A ideia é a mesma usada acima, só que com expressões diferentes no segundo membro.

Resposta

u_{1}^{\prime}(x)=u_{2}(x)
u_{2}^{\prime}(x)=u_{2}(x)^{2} e^{u_{1}(x)}-u_{1}(x) e^{x}+x\cos(x)

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