- Transforme a equação
a um sistema equivalente de equações da primeira ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede para transformá‑la em um sistema equivalente de equações da primeira ordem.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve
, sua primeira derivada e sua segunda derivada . - Não são fornecidas condições iniciais; o pedido é somente a transformação para um sistema de primeira ordem, equivalente à equação original.
Passo 2
Idéia do procedimento (sem resolver ainda): para reduzir uma equação de ordem maior a um sistema de primeira ordem, introduzimos novas variáveis que representem a função e suas derivadas até a ordem menor. Isso transforma uma única equação de ordem
em
equações de primeira ordem. Vou fazer isso passo a passo e explicar por que é equivalente.
Passo 3
Definimos duas novas funções (variáveis de estado) que representam
e
. Escrevo explicitamente:
Explicação didática: ao fazer isso estamos apenas renomeando a função e sua derivada. A vantagem é que agora podemos escrever derivadas de
e
que serão equações de primeira ordem.
Passo 4
Calculo as derivadas de
e
. Pelas definições:
E
Agora uso a equação original para substituir
em termos de
,
e
. Substituindo
e
na equação dada, obtenho:
Passo 5
Juntando as duas equações de primeira ordem que temos:
Comentário didático: este sistema é equivalente à equação original porque qualquer função
que satisfaça a equação de segunda ordem gera, através das definições acima, uma solução
do sistema. Reciprocamente, qualquer solução
do sistema com
duas vezes diferenciável dá
que satisfaz a equação original.
Passo 6
Forma vetorial (notação compacta) e observações práticas. Definindo o vetor
podemos escrever o sistema como
Observação sobre condições iniciais: se tivéssemos condições
e
, elas se tornam
Isso é exatamente o que se usa em métodos numéricos (Runge–Kutta, etc.), que trabalham com sistemas de primeira ordem.]
Passo 7
Exemplo rápido para fixar a técnica (sem relação com os coeficientes do enunciado): se a equação fosse
, definindo
teríamos
e
. A ideia é a mesma usada acima, só que com expressões diferentes no segundo membro.