Transforme, se possível, o sistema de equações do ítem © em um sistema desacoplado, mediante uma transformação de similaridade, e calcule uma matriz fundamental deste.
x^prime=(lll 3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3 ) x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para transformar um sistema de equações diferenciais em um sistema desacoplado usando uma transformação de similaridade e, depois, calcular uma matriz fundamental para ele. O sistema que temos é:
x^prime=(ccc 3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3 ) x
Para resolver isso, vamos precisar mexer com matrizes, encontrar autovalores e autovetores, e usar essas informações para diagonalizar a matriz original e encontrar a matriz fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de λ que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde $ \mathbf{A} $ é a matriz dada e $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade.
Vamos calcular o determinante:
A
Expandindo esse determinante, resolvemos para λ.

Passo 3

Depois de expandir e simplificar, encontramos os autovalores:
lambda1 = 5, lambda2 = 1, lambda3 = -1
Esses são os valores que vão nos ajudar a diagonalizar a matriz.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada λ, resolvemos:
(A - lambda I)v = 0
Onde $ \mathbf{v} $ é o autovetor.
Por exemplo, para $ \lambda_1 = 5 $:
v
Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor correspondente. Repetimos o processo para $ \lambda_2 = 1 $ e $ \lambda_3 = -1 $.

Passo 5

Com os autovetores em mãos, formamos a matriz de similaridade $ \mathbf{P} $, onde cada coluna é um autovetor:
P
Essa matriz permite transformar o sistema original em um sistema diagonalizado:
P = [v1 , v2 , v3]
Onde $ \mathbf{D} $ é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal.

Passo 6

Finalmente, para encontrar a matriz fundamental $ \mathbf{\Phi}(t) $, usamos:
Phi(t)
Como $ \mathbf{D} $ é diagonal, $ e^{\mathbf{D} t} $ é fácil de calcular, basta exponenciar cada elemento da diagonal:
Phi(t) = P e^D t P^-1
Multiplicando tudo junto, temos a matriz fundamental do sistema.

Resposta

Após realizar a transformação de similaridade e calcular os autovalores e autovetores, a matriz fundamental do sistema é dada por:
Phi(t) = P e^5t & 0 & 0 0 & e^t & 0 0 & 0 & e^-t P^-1
Onde $ \mathbf{P} $ é a matriz formada pelos autovetores correspondentes aos autovalores $ \lambda_1 = 5 $, $ \lambda_2 = 1 $, e $ \lambda_3 = -1 $.

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