Transforme, se possível, o sistema de equações do ítem © em um sistema desacoplado, mediante uma transformação de similaridade, e calcule uma matriz fundamental deste.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para transformar um sistema de equações diferenciais em um sistema desacoplado usando uma transformação de similaridade e, depois, calcular uma matriz fundamental para ele. O sistema que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar mexer com matrizes, encontrar autovalores e autovetores, e usar essas informações para diagonalizar a matriz original e encontrar a matriz fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de λ que satisfazem a equação característica:
Onde $ \mathbf{A} $ é a matriz dada e $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade.
Vamos calcular o determinante:
Expandindo esse determinante, resolvemos para λ.
Passo 3
Depois de expandir e simplificar, encontramos os autovalores:
Esses são os valores que vão nos ajudar a diagonalizar a matriz.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada λ, resolvemos:
Onde $ \mathbf{v} $ é o autovetor.
Por exemplo, para $ \lambda_1 = 5 $:
Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor correspondente. Repetimos o processo para $ \lambda_2 = 1 $ e $ \lambda_3 = -1 $.
Passo 5
Com os autovetores em mãos, formamos a matriz de similaridade $ \mathbf{P} $, onde cada coluna é um autovetor:
Essa matriz permite transformar o sistema original em um sistema diagonalizado:
Onde $ \mathbf{D} $ é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
Passo 6
Finalmente, para encontrar a matriz fundamental $ \mathbf{\Phi}(t) $, usamos:
Como $ \mathbf{D} $ é diagonal, $ e^{\mathbf{D} t} $ é fácil de calcular, basta exponenciar cada elemento da diagonal:
Multiplicando tudo junto, temos a matriz fundamental do sistema.
Resposta
Após realizar a transformação de similaridade e calcular os autovalores e autovetores, a matriz fundamental do sistema é dada por:
Onde $ \mathbf{P} $ é a matriz formada pelos autovetores correspondentes aos autovalores $ \lambda_1 = 5 $, $ \lambda_2 = 1 $, e $ \lambda_3 = -1 $.