Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil
integral duplaD 6 x^2 d A, D é limitada por y=x^3, y=2 x+4, x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definir as integrais iteradas para ambas as ordens de integração e depois calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada por , e . A matéria aqui envolve integrais duplas e como determinar os limites de integração. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar a região e definir os limites para as integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Precisamos desenhar os gráficos de e para ver onde eles se interceptam e como estão posicionados em relação ao eixo .

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção entre x^3 = 2x + 4 e x^3 - 2x - 4 = 0 . Igualando as duas equações:
8 - 4 - 4 = 0
Vamos resolver isso:
Testando :
Então, é uma solução. Portanto, as curvas se intersectam em .

Passo 4

Agora que sabemos que as interseções ocorrem em , podemos definir os limites de integração. Vamos considerar duas ordens: integrar primeiro com respeito a e depois a , e vice-versa.

Passo 5

Ordem 1: Integrar com respeito a integralx=0^2 integraly=x^3^2x + 4 6x^2 , dy , dx primeiro e depois a .
Para essa ordem, varia de a . Para cada , varia de até .
Então, a integral iterada fica:

Passo 6

Ordem 2: Integrar com respeito a x = raiz[3]y primeiro e depois a x = y - 42 .
Para essa ordem, integraly=0^8 integralx=0^y - 42 6x^2 , dx , dy varia do valor mínimo de até o valor máximo na interseção, que é .
Para cada , precisamos resolver e para :
Então, varia de até .
Assim, a integral iterada fica:

Passo 7

Agora, vamos escolher a ordem mais fácil para calcular. Integrar com respeito a integral0^2 integralx^3^2x + 4 6x^2 , dy , dx primeiro parece mais simples porque a função não depende de .
Então, vamos calcular:

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a integralx^3^2x + 4 6x^2 , dy = 6x^2 cdot (2x + 4 - x^3) = 6x^2(2x + 4 - x^3) :
6x^2(2x) + 6x^2(4) - 6x^2(x^3) = 12x^3 + 24x^2 - 6x^5
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos em relação a integral0^2 (12x^3 + 24x^2 - 6x^5) , dx de 12 cdot x^44 + 24 cdot x^33 - 6 cdot x^66 = 3x^4 + 8x^3 - x^6 a 3(2)^4 + 8(2)^3 - (2)^6 - [0 + 0 - 0] = 3(16) + 8(8) - 64 = 48 + 64 - 64 = 48 :
Vamos integrar termo a termo:
Avaliado de a :

Resposta

O valor da integral dupla é 48.

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