Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil
é limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definir as integrais iteradas para ambas as ordens de integração e depois calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é limitada por
,
e
. A matéria aqui envolve integrais duplas e como determinar os limites de integração. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar a região
e definir os limites para as integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Precisamos desenhar os gráficos de
e
para ver onde eles se interceptam e como estão posicionados em relação ao eixo
.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção entre
e
. Igualando as duas equações:
Vamos resolver isso:
Testando
:
Então,
é uma solução. Portanto, as curvas se intersectam em
.
Passo 4
Agora que sabemos que as interseções ocorrem em
, podemos definir os limites de integração. Vamos considerar duas ordens: integrar primeiro com respeito a
e depois a
, e vice-versa.
Passo 5
Ordem 1: Integrar com respeito a
primeiro e depois a
.
Para essa ordem,
varia de
a
. Para cada
,
varia de
até
.
Então, a integral iterada fica:
Passo 6
Ordem 2: Integrar com respeito a
primeiro e depois a
.
Para essa ordem,
varia do valor mínimo de
até o valor máximo na interseção, que é
.
Para cada
, precisamos resolver
e
para
:
Então,
varia de
até
.
Assim, a integral iterada fica:
Passo 7
Agora, vamos escolher a ordem mais fácil para calcular. Integrar com respeito a
primeiro parece mais simples porque a função
não depende de
.
Então, vamos calcular:
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Avaliado de
a
:
Resposta
O valor da integral dupla é 48.